滚动小专题(七) 与圆有关的计算与证明类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.证明：(1)∵OD⊥AC，OD为半径，∴＝.∴∠CBD＝∠ABD.∴BD平分∠ABC.(2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°.∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝30°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴在Rt△ACB中，BC＝AB.又∵OD＝AB，∴BC＝OD.2．(2022·温州)如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．(1)求证：AE＝AB；(2)若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长．解：(1)证明：由题意，得△ADE≌△ADC，∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC.∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD.∴AB＝AC，∴AE＝AB.(2)过点A作AH⊥BE于点H.∵AB＝AE，BE＝2.7\n∴BH＝EH＝1.∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB＝，∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝.∴＝.∴AC＝AB＝3.∵∠BAC＝90°，AC＝AB，∴BC＝3.3．(2022·包头)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CD，CE，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB＝∠ABC，连接BF.(1)求证：∠BCD＝∠BEC；(2)若BC＝2，BD＝1，求CE的长及sin∠ABF的值．解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°.∵DE是⊙A的直径，∴∠DCE＝90°.∴∠BEC＋∠CDE＝90°.∵AD＝AC，∴∠CDE＝∠ACD.∴∠BCD＝∠BEC.(2)∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC，∴△BDC∽△BCE.∴＝＝.∵BC＝2，BD＝1，∴BE＝4，EC＝2CD.∴DE＝BE－BD＝3.在Rt△DCE中，DE2＝CD2＋CE2＝9.∴CD＝.∴CE＝.过点F作FM⊥AB于点M，∵∠FAB＝∠ABC，∠FMA＝∠ACB＝90°，∴△AFM∽△BAC.∴＝.∵DE＝3，∴AD＝AF＝AC＝，AB＝.∴FM＝.过点F作FN⊥BC于点N，∴∠FNC＝90°.∵∠FAB＝∠ABC，∴FA∥BC.∴∠FAC＝∠ACB＝90°.∴四边形FNCA是矩形．7\n∴FN＝AC＝，NC＝AF＝，∴BN＝.在Rt△FBN中，BF＝＝，∴在Rt△FBM中，sin∠ABF＝＝.类型2 与圆的切线有关的计算与证明4．(2022·滨州)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB.求证：(1)直线DC是⊙O的切线；(2)AC2＝2AD·AO.证明：(1)连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC.∵OC为⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．(2)连接BC.∵AB为⊙O的直径，∴AB＝2AO，∠ACB＝90°.∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB.∴＝，即AC2＝AB·AD.∴AC2＝2AD·AO.5．(2022·金华)如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.(1)求证：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.①求∠OCE的度数；7\n②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．解：(1)证明：∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠DAC＝∠OCA.又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°.②过点O作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.∵OC＝2，∠OCE＝45°，∴OG＝CG＝2.∴FG＝2.∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝2.∴EF＝GE－FG＝2－2.6．(2022·苏州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E，延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC.(1)求证：CD＝CE；(2)若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．证明：(1)连接AC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°.∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.又∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAO.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°.在△CDA和△CEA中，7\n∴△CDA≌△CEA(AAS)．∴CD＝CE.(2)证法一：连接BC.∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA.∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG.∴∠ECA＝∠ECG.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B.又∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG.又∵∠D＝90°，∴∠DCF＋∠F＝90°.∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°.∴∠AOC＝2∠F＝45°.∴△CEO是等腰直角三角形．证法二：设∠F＝x°，则∠AOC＝2∠F＝2x°.∵AD∥OC，∴∠OAF＝∠AOC＝2x°.∴∠CGA＝∠OAF＋∠F＝3x°.∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG.∴∠EAC＝∠CGA.∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x°.又∵∠DAC＋∠EAC＋∠OAF＝180°，∴3x°＋3x°＋2x°＝180°.∴x＝22.5.∴∠AOC＝2x°＝45°.∴△CEO是等腰直角三角形．7．(2022·孝感)如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD.(1)由AB，BD，围成的曲边三角形的面积是＋；(2)求证：DE是⊙O的切线；(3)求线段DE的长．解：(2)证明：连接OD.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴AD＝DB.又∵AB为直径，∴AD⊥DB，∴∠ADB＝90°.7\n∴OD⊥AB.∵DE∥AB，∴OD⊥DE.又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．(3)∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8.过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，∴AF＝OD＝FD＝5，∠BAF＝90°.∵∠EAF＋∠CAB＝90°，∠ABC＋∠CAB＝90°，∴∠EAF＝∠ABC.∴tan∠EAF＝tan∠ABC.∴＝，即＝.∴EF＝.∴DE＝DF＋EF＝5＋＝.8．(2022·株洲)如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC，AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE.(1)求证：直线CG为⊙O的切线；(2)若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH.①求证：△CBH∽△OBC；②求OH＋HC的最大值．解：(1)证明：∵C，D关于AB对称，∴∠GAF＝∠CAF.∵∠GAF＝∠GCE，∴∠GCE＝∠CAF.∵OA＝OC，∴∠CAF＝∠ACO.∴∠GCE＝∠ACO.∵AB为直径，∴∠ACO＋∠OCB＝90°.∴∠GCE＋∠OCB＝90°，即∠OCG＝90°.又∵OC为⊙O的半径，∴CG为⊙O的切线．(2)①证明：∵OC＝OB，CH＝BC，∴∠OCB＝∠OBC，∠CHB＝∠CBH，∠CBH＝∠OBC＝∠OCB＝∠CHB.∴△CBH∽△OBC.②∵△CBH∽△OBC，∴＝.∴BH＝.7\n设BC＝x，则CH＝x，BH＝.∴OH＋HC＝－x2＋x＋4＝－(x－2)2＋5.∴当x＝2时，OH＋HC的最大值为5.9．(2022·娄底)如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E.(1)当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；(2)求证：BC2－CE2＝CE·DE；(3)已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠DAB＋∠ABD＝90°.∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP＝90°，即∠PBD＋∠ABD＝90°.∴∠DAB＝∠PBD.(2)证明：∵∠A＝∠C，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE.∴＝，即DE·CE＝AE·BE.连接OC.设圆的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，则DE·CE＝AE·BE＝(OA－OE)(OB＋OE)＝r2－OE2.∵＝，∴∠AOC＝∠BOC＝90°.∴CE2＝OE2＋OC2＝OE2＋r2，BC2＝BO2＋CO2＝2r2，则BC2－CE2＝2r2－(OE2＋r2)＝r2－OE2.∴BC2－CE2＝DE·CE.(3)∵OA＝4，∴OB＝OC＝OA＝4.∴BC＝＝4.又∵E是半径OA的中点，∴AE＝OE＝2.则CE＝＝＝2.∵BC2－CE2＝DE·CE，∴(4)2－(2)2＝DE·2.∴DE＝.7
