四边形的有关计算与证明四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题.例(2022·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积.【思路点拨】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE=∠DBE=∠DBC=30°，利用锐角三角函数可求出AE、BE，进而求出AD、DE，即可求出菱形BFDE的面积.【解答】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得：BM=AB，DN=DC，∠A=∠EMB，∠C=∠DNF，∴BM=DN,∠EMB=∠DNF=90°，∴BN=DM,∠EMD=∠FNB=90°.∵AD∥BC,∴∠EDM=∠FBN，∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED=BF，∴四边形BFDE是平行四边形.(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD=∠FBD.∵∠ABE=∠EBD,∠ABC=90°,∴∠ABE=×90°=30°.在Rt△ABE中，∵AB=2，∴AE=,BE=,∴ED=,∴AD=.∴S△ABE＝AB·AE=.S矩形ABCD＝AB·AD=，∴S菱形BFDE＝-2×＝.方法归纳：证明平行四边形及特殊平行四边形时，通常要先看题中已知条件的特点，然后根据条件选择合适的判定方法加以证明.1.(2022·新疆)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于点E、F，EH⊥AB于H.连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.5\n2.(2022·济宁)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF.(1)求证：BF=DF；(2)连接CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程).3.(2022·凉山)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.4.(2022·舟山)已知：如图，在□5\nABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.(1)求证：△DOE≌△BOF.(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由.5.如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.(1)求证：四边形CDOF是矩形；(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由.6.(2022·成都)如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=AD(n为大于2的整数)，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.(1)试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；(2)当AB=a(a为常数)，n=3时，求FG的长；(3)记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当=时，求n的值.(直接写出结果，不必写出解答过程)5\n参考答案1.证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，∴CE=EH.在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理，得AC=AH.∴∠CAF=∠HAF.在△CAF和△HAF中，∴△CAF≌△HAF(SAS)，∴∠ACD=∠AHF.∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠CDA=∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B=∠AHF，∴FH∥CE.∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CF∥EH，∴四边形CFHE是平行四边形.又∵CE=EH，∴四边形CFHE是菱形.2.证明：(1)∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°.∵BE=AB-AE，DG=AD-AG，∴BE=DG,∴△BEF≌△DGF，∴BF=DF.(2)BE∶CF=.3.证明：(1)∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴∠AEF=∠AEB=30°，AE=AB，∠EFA=90°.∴∠AEF=∠BAC.又∵∠ACB=90°，∴∠EFA=∠ACB.∴△AEF≌△BAC(AAS),∴AC=EF.(2)∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠DAC=60°.由(1)的结论得AC=EF.∴AD=EF.又∵∠BAC=30°，∴∠FAD=∠BAC+∠DAC=90°.又∵∠EFA=90°，∴EF∥AD.又∵EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形.4.(1)证明：∵在□ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO.∵∠EOD=∠BOF，∴△DOE≌△BOF(ASA).(2)当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形.5\n理由：∵△DOE≌△BOF，∴BF=DE.又∵BF∥DE，∴四边形EBFD是平行四边形.∵BO=DO，∠EOD=90°，∴EB=DE.∴四边形BFDE为菱形.5.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF.∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°，∴∠COD+∠COF=90°，∴∠DOF=90°.∵OA=OC，OD平分∠AOC，∴OD⊥AC，AD=DC.∴∠CDO=90°.∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°.∴四边形CDOF是矩形.(2)当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形.理由：∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC.又由(1)知四边形CDOF是矩形，∴四边形CDOF是正方形.因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形.6.(1)菱形.∵FG为BE的垂直平分线，∴FE＝FB，GB＝GE，∠FEB＝∠FBO.又FE∥BG，∴∠FEB＝∠GBO，∴∠FBO＝∠GBO.∵BO＝BO，∠BOF＝∠BOG=90°，∴△BOF≌△BOG，∴BF＝BG.∴BG＝GE＝EF＝FB.∴四边形BFEG为菱形.(2)AB＝a，AD＝2a，DE＝a，AE＝a，BE＝=a，OE＝a.设菱形BFEG的边长为x，∵AB2+AF2＝BF2，∴a2+(a-x)2=x2，解得x＝a.∴OF＝=a=a.∴FG＝a.(3)n＝6.5
