第26讲 图形的平移、对称、旋转与位似第1课时 图形的对称重难点1 轴对称(折叠)的有关计算与证明 一张矩形纸片ABCD，现将它的一个角∠B折叠．(1)若AB＝6，BC＝10.①如图1，若沿AF折叠，使点B落在AD边上的点E处，则线段FC的长为4；②如图2，若沿EC折叠，使点B落在AD边上的点F处，则线段AE的长为；③如图3，若沿AC折叠，使点B落在矩形ABCD外的点E处，CE交AD于点F，则线段DF的长为．图1 图2 图3(2)若AB＝6，BC＝8.①如图4，若沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则线段BE的长为3；图4 图5 图6②如图5，若沿AE折叠，使点B落在矩形ABCD内的点F处，且点E恰为BC的中点，则线段CF的长为；③如图6，若沿EF折叠，使点B落在矩形ABCD的顶点D处，点A落在矩形ABCD外的点G处，则折痕EF的长为．1．图形的轴对称(折叠)变换属于全等变换，在解题时应充分运用其性质解题．2．折叠中求线段长一般需要构造(找寻)直角三角形，利用勾股定理计算未知线段长．【变式训练1】 (2022·宁夏)如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′为105°．【变式训练2】 (2022·黔西南)如图，将边长为6cm13\n的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是cm.【变式训练3】 (2022·南宁)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为7．重难点2 利用轴对称求最短路径问题 (2022·滨州)如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是(D)A.B.C．6D．3【思路点拨】 作点P分别关于OA，OB的对称点C，D，连接CD分别交OA，OB于M，N，如图，利用轴对称的性质，得MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，所以∠COD＝2∠AOB＝120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，为CD的长．作OH⊥CD于点H，则CH＝DH，然后利用含30°角的直角三角形三边的关系计算CD即可．在几何图形中求两(三)条线段之和的最小值，通常根据轴对称的性质和两点之间线段最短，将两(三)条线段的长转化为一条线段的长，然后计算这条线段的长，即两(三)条线段之和的最小值．【变式训练4】 (2022·天津)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是(D)A．ABB.DEC.BDD．AF13\n【变式训练5】 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，＝＝，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值为8__cm．考点1 轴对称图形与中心对称图形1．(2022·淄博)下列图形中，不是轴对称图形的是(C),A) ,B) ,C) ,D)2．(2022·长沙)下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A)A B C D3．(2022·黄石)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(C)A B C D4．(2022·广州)如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有(C)A．1条B．3条C．5条D．无数条5．(2022·河北)图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是(C)A．①B．②C．③D．④ 考点2 与对称有关的作图6．(2022·枣庄)如图，在4×4的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；13\n(2)在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；(3)在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 图1 图2 图3考点3 图形的折叠7．(2022·天津)如图，将一个三角形纸ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处．折痕为BD，则下列结论一定正确的是(D)A．AD＝BDB．AE＝ACC．ED＋EB＝DBD．AE＋CB＝AB8．(2022·内江)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为(D)A．31°B．28°C．62°D．56°9．(2022·仙桃)如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是(C)A．1B．1.5C．2D．2.510．(2022·威海)如图，将矩形ABCD(纸片)折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕，已知∠1＝67.5°，∠2＝75°，EF＝＋1.求BC的长．解：由题意，得∠3＝180°－2∠1＝45°，∠4＝180°－2∠2＝30°，BE＝EK，KF＝FC.13\n过点K作KM⊥EF，垂足为M.设KM＝x，则EM＝x，MF＝x，∴x＋x＝＋1，解得x＝1.∴EK＝，KF＝2.∴BC＝BE＋EF＋FC＝EK＋EF＋KF＝3＋＋，即BC的长为3＋＋.考点4 利用轴对称求最短路径11．(2022·新疆)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是(B)A.B．1C.D．212．(2022·泸州)如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线．若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为18．13．(2022·菏泽)如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(－4，5)，D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是(B)A．(0，)B．(0，)C．(0，2)D．(0，)14．(2022·遵义)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B，D重合)，折痕为EF.DG＝2，BG＝6，则BE的长为2.8．13\n15．(2022·潍坊)如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为B′，折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C上，记为D′，折痕为CG，B′D′＝2，BE＝BC.则矩形纸片ABCD的面积为15．16．(2022·眉山)在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A，C的坐标分别是(－4，6)，(－1，4)．(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；(2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．解：(1)(2)如图．(3)作点B1关于y轴的对称点B2，连接B2C交y轴于点P，点P即为所求．点P的坐标为(0，2)．13\n第2课时 图形的平移、位似与旋转重难点1 平移的相关计算 (2022·株洲)如图，点O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为(0，2)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(2，2)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为4．【思路点拨】 如图，由点B的坐标为(0，2)，且平移后点B′的坐标为(2，2)，可知沿x轴平移的距离为2，且线段OA与平移后的线段O′A′的关系是平行且相等，所以线段OA在平移过程中扫过的部分是平行四边形OO′A′A，故可由等腰直角三角形中边的关系，求得平行四边形的高，进而求得面积．解决平移相关的问题，关键要紧扣平移的性质特征：①对应线段平行(或共线)且相等；②对应点的连线平行且相等；③平移前后的图形全等．【变式训练1】 如图，将边长为2个单位长度的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为8个单位长度．重难点2 旋转的计算与证明 (2022·烟台节选)在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【思路点拨】 两种思路的出发点相同，都是通过旋转得到全等三角形，从而构建直角三角形使问题得以解决．【自主解答】 13\n图1解：选择思路一，如图1.∵将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，∴BP′＝BP＝2，∠PBP′＝90°，AP′＝PC＝3.∴PP′＝＝2，∠P′PB＝45°.∴AP′2＋PP′2＝1＋(2)2＝9＝AP′2.∴∠APP′＝90°.∴∠APB＝∠APP′＋∠P′PB＝135°.图2选择思路二，如图2.∵将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，∴BP′＝BP＝2，P′C＝PA＝1，∠APB＝∠BP′C，∠PBP′＝90°.∴PP′＝＝2，∠PP′B＝45°.∴P′C2＋PP′2＝12＋(2)2＝9＝PC2.∴∠PP′C＝90°.∴∠APB＝∠BP′C＝∠PP′B＋∠PP′C＝135°.图形的旋转变换为全等变换，在解题时应充分运用其性质，抓住以下几点：①找准旋转中的“变”与“不变”；②找准旋转前后的“对应关系”；③充分挖掘旋转过程中线段之间的位置和数量关系．如：旋转前、后的两个三角形全等，利用全等的性质就可以求出线段的长或角的度数，旋转角为60°的旋转考虑有没有等边三角形，旋转角为45°的旋转考虑有没有等腰直角三角形．【变式训练2】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′相交于点O，则∠COA′的度数是(B)A．50°B．60°C．70°D．80°【变式训练3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是(A)A.B．2C．3D．213\n重难点3 网格作图 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，3)．(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(4，0)，写出顶点A1，B1的坐标；(2)若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；(3)若△ABC和△A3B3C3关于x轴对称，画出△A3B3C3，并写出△A3B3C3各顶点的坐标；(4)若△ABC和△A4B4C4关于点(－1，1)位似，位似比为1∶2，画出△A4B4C4，并写出△A4B4C4各顶点的坐标；(5)将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A5B5C5，写出△A5B5C5的各顶点的坐标，并求出点C旋转的路径长．【自主解答】 解：(1)如图，△A1B1C1为所作．∵点C(－1，3)平移后的对应点C1的坐标为(4，0)，∴△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1.∴点A1的坐标为(2，2)，点B1的坐标为(3，－2)．(2)∵△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，∴A2(3，－5)，B2(2，－1)，C2(1，－3)．(3)如图，△A3B3C3为所作，A3(－3，－5)，B3(－2，－1)，C3(－1，－3)．(4)如图，△A4B4C4为所作，A4(3，－7)，B4(1，1)，C4(－1，－3)．(5)如图，△A5B5C5为所作，A5(5，3)，B5(1，2)，C5(3，1)．∵OC＝＝，∴点C旋转的路径长为＝π.1．平移、对称、旋转与位似作图的一般步骤：(1)确定原图形中的关键点；(2)按要求作出原图形中各关键点的对应点；(3)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.2.点的坐标变化规律：(1)点的坐标对称规律：点A(x，y)点A′(x，－y)；点A(x，y)点A′(－x，y)；13\n点A(x，y)点A′(－x，－y)；点A(x，y)点A′(kx，ky)或(－kx，－ky)．(2)点的坐标平移规律(上加下减，右加左减)：(3)点的坐标旋转规律(以原点O为旋转中心，旋转角为特殊角)：点A(x，y)点A′(y，－x)；点A(x，y)点A′(－y，x)；点A(x，y)点A′(－x，－y)．Ｋ考点1 图形的平移1．(2022·温州)如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(0，)．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是(C)A．(1，0)B．(，)C．(1，)D．(－1，)2．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝5．考点2 图形的旋转3．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是(A)A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位长度C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度13\n4．(2022·海南)如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为(C)A．6B．8C．10D．125．(2022·衡阳)如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上．若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为90°．6．(2022·张家界)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为15°．7．(2022·北京)如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变换(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：先向左平移2个单位长度，再绕原点O顺时针旋转90°．8．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F.(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．13\n解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝DC，∠BCG＝90°.∵∠BCG＋∠DCE＝180°，∴∠BCG＝∠DCE＝90°.在△BCG和△DCE中，∴△BCG≌△DCE(SAS)．(2)四边形E′BGD是平行四边形．理由：∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE＝AE′.∵CG＝CE，∴CG＝AE′.∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB＝CD.∴AB－AE′＝CD－CG，即BE′＝DG.∴四边形E′BGD是平行四边形．考点3 图形的位似9．(2022·潍坊)在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(B)A．(2m，2n)B．(2m，2n)或(－2m，－2n)C．(m，n)D．(m，n)或(－m，－n)10．(2022·兰州)如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，＝，则＝．考点4 网格作图11．(2022·广西六市)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，1)，C(3，3)．(1)将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请画出A1B1C1；(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；(3)判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．(无须说明理由)．13\n解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．(3)三角形的形状为等腰直角三角形．12．(2022·山西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为(D)A．12B．6C．6D．613．(2022·荆门)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为(A)A．(－2，3)B．(－3，2)C．(3，－2)D．(2，－3)14．(例2变式)(2022·淄博)如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到是三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为(A)A．9＋B．9＋C．18＋25D．18＋13
