滚动小专题(六) 与四边形有关的计算与证明1．(2022·大庆)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于点F.(1)证明：四边形CDEF是平行四边形；(2)若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．解：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线．∴ED∥FC.BC＝2DE.又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．(2)∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC＝EF.∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2DC.∴四边形CDEF的周长＝AB＋BC.∵四边形CDEF的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC＝25－AB.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝(25－AB)2＋52.解得AB＝13.∴线段AB的长为13cm.2．如图，在▱ABCD中，直线EF绕对角线AC的中点O旋转，分别交BC，AD于E，F两点，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AC＝2，∠CAF＝30°，则当AF＝时，四边形AECF是矩形．证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE.∵点O是▱ABCD对角线的交点，∴OA＝OC.在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE(ASA)．6\n∴AF＝CE.∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形.3．(2022·扬州)如图，在▱ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE，∴∠DAF＝∠EBF.∵∠AFD＝∠BFE，AF＝BF，∴△AFD≌△BFE(ASA)．∴AD＝EB.∵AD∥EB，∴四边形AEBD是平行四边形．∵BD＝AD，∴四边形AEBD是菱形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝10，AB∥CD.∴∠ABE＝∠DCB.∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3.∵四边形AEBD是菱形，∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF.∴tan∠ABE＝＝3.∵DC＝，BF＝，∴EF＝.∴DE＝3.∴S菱形AEBD＝·AB·DE＝××3＝15.4．(2022·上海)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．6\n证明：(1)在△ADE和△CDE中，∴△ADE≌△CDE(SSS)．∴∠ADE＝∠CDE.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC.∴∠BDC＝∠DBC.∴CD＝BC＝AD.又∵AD∥BC.∴四边形ABCD是菱形．(2)∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE.设∠CBE＝2x°，∠BCE＝∠BEC＝3x°，则2x＋3x＋3x＝180，解得x＝22.5.∴∠CBD＝∠CDB＝45°.∴∠BCD＝90°.∴四边形ABCD是正方形．5．(2022·荆州)如图，对折矩形ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落在MN上的点F处，折痕AP交MN于点E；延长PF交AB于点G.求证：(1)△AFG≌△AFP；(2)△APG为等边三角形．证明：(1)由折叠可知M，N分别为AD，BC的中点．∵DC∥MN∥AB，∴F为PG的中点，即PF＝FG.又∵∠PFA＝∠D＝90°，∴∠AFP＝∠AFG＝90°.在△AFG和△AFP中，∴△AFG≌△AFP(SAS)．(2)由题意知，△APD≌△APF≌△AGF.∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，AP＝AG.∴∠PAG＝60°.∴△APG为等边三角形．6\n6．(2022·吉林)如图1，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F.(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；(2)当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为菱形；(3)延长图1中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图2.若AD＝AG，试判断四边形AEGF的形状，并说明理由． 图1 图2解：(1)证明：∵DE∥AC，∴∠ADE＋∠DEF＝180°，∠A＋∠AFE＝180°.又∵∠DEF＝∠A，∴∠ADE＝∠AFE.∴四边形ADEF为平行四边形．(3)四边形AEGF为矩形．证明如下：∵四边形ADEF为平行四边形；∴DEAF.又∵DE＝EG，∴EGAF.∴四边形AEGF为平行四边形．又∵AD＝AG，DE＝EG，∴∠AEG＝90°.∴平行四边形AEGF为矩形．7．(2022·北京)如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.(1)求证：GF＝GC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．解：(1)证明：连接DF.∵点A关于直线DE的对称点为F，∴AE＝FE，DA＝DF.在△DAE和△DFE中，∴△DAE≌△DFE(SSS)．∴∠DFE＝∠A＝90°.∵DA＝DC，∴DC＝DF.6\n在Rt△DCG和Rt△DFG中，∴Rt△DCG≌Rt△DFG(HL)．∴GF＝GC.(2)BH＝AE.证明：过点H作HI⊥AB于点I.由(1)可知，∠EDF＋∠FDG＝45°.∵EH⊥DE，∴△DEH为等腰直角三角形．∴∠DEA＋∠HEI＝90°.又∵∠DEA＋∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠IEH.在△DAE和△EIH中，∴△DAE≌△EIH(AAS)．∴AE＝IH，AD＝EI.∴AE＋BE＝BE＋BI.∴BI＝AE.∴AE＝IH＝BI，△BHI是等腰直角三角形．∴BH＝BI＝AE.8．(2022·临沂)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图1，当点E在BD上时，求证：DF＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由． 图1 图2解：(1)证明：由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE.又∵∠ABE＋∠EDA＝∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠EDA＝∠DEF.又∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE(SAS)．∴DF＝EA.又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF.(2)当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：6\n①当点G在AD的右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于点M.∵GC＝GB，∴GH⊥BC.∴四边形ABHM是矩形．∴AM＝BH＝AD＝AG.∴GM垂直平分AD.∴GD＝GA＝DA.∴△ADG是等边三角形．∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°.②当点G在AD的左侧时，同理可得，△ADG是等边三角形．∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°－60°＝300°.6
