三角形的有关计算与证明三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系.例(2022·重庆B卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可.【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA),∴CF＝BG，AF＝CG.(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点.又∵AD⊥AB，∴CH∥AD,∴G为BD中点，∠D＝∠EGC.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS),∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解.1.(2022·长沙)如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.(1)求证：△AOE≌△COD；(2)若∠OCD=30°，AB=,求△AOC的面积.6\n2.(2022·滨州)如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2-GE2=EA2.4.在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.(1)当BE=AE时，求证：BD=AE；(2)当BE≠AE时，“BD=AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD与AE数量关系式，若你认为成立，请给予证明.6\n5.(2022·重庆A卷)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.(1)求证：BE=CF；(2)在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE=DN.参考答案1.(1)证明：由折叠的性质可得：AE＝AB,∠E＝∠B＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB,∠D＝90°.∴AE＝CD，∠E＝∠D＝90°.在△AOE和△COD中，∴△AOE≌△COD(AAS).(2)在Rt△OCD中，∠OCD＝30°，∴OC=2OD.∵AB＝CD＝，OD2+CD2=OC2，∴OD2+()2=4OD2,解得OD＝1.∴OC＝2.由折叠知：∠BCA＝∠ACO.∵AD∥BC，∴∠OAC＝∠BCA，∴∠OAC＝∠ACO，∴OA＝OC＝2，6\n∴S△AOC=·OA·CD=×2×=.2.图中的所有的等腰三角形有：△DCC′，△DAC′，△ABC′，△BCC′，理由如下：∵正方形ABCD，∴CD=AD=AB=BC，∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°.∵边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，∴DC′=DC=AD=AB，∠DCC′=∠DC′C=(180°-30°)=75°，即△DCC′是等腰三角形.∵∠ADC=90°，∠CDC′=30°，∴∠ADC′=60°.∵DC′=AD，∴△DAC′为等边三角形.∴AC′=AD=AB，∠DAC′=∠DC′A=60°,∴△ABC′为等腰三角形，∠BAC′=90°-60°=30°,∴∠ABC′=∠AC′B=(180°-30°)=75°,∴∠C′BC=90°-75°=15°，∠C′CB=90°-75°=15°,∴∠C′BC=∠C′CB,∴△BCC′是等腰三角形.3.(1)BH=AC.证明：∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,∠ABC=45°,∴∠BCD=45°=∠ABC,∴DB=DC.又∵∠BHD=∠CHE,∴∠DBH=∠DCA.∴△DBH≌△DCA,∴BH=AC.(2)证明：连接GC.则GC2-GE2=EC2.∵F为BC中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC,∴BG=GC.∴BG2-GE2=EC2.∵∠ABE=∠CBE,∠CEB=∠AEB,BE=BE,∴△BCE≌△BAE.∴EC=EA,∴BG2-GE2=EA2.4.(1)证明：如图1，在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°.∵BE=AE，∴∠ACE=∠ECB=30°.又∵CE=DE，∴∠D=∠ECD=30°.∴∠DEB=30°，∴BE=BD，∴BD=AE.(2)BD=AE还成立.证明：如图2，过点E作EF∥AC交BC于F，6\n易证△EFB为等边三角形，∴EF=FB=BE.∴∠EFB=∠EBF.∴∠CFE=∠EBD.∵CE=DE，∴∠ECD=∠D.∴△ECF≌△EDB，∴CF=BD.∵AB=BC，AB-BE=BC-BF，即AE=CF.∴AE=BD.5.证明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°.∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°.∴∠ACF=90°-45°=45°，∴∠B=∠ACF.∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF(ASA).∴BE=CF.(2)①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形.∴HE=BH，∠BEH=45°.∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE.∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC.②由题意，得∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE.在Rt△ACM和Rt△ECM中，6\n∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°.又∵∠DAE=×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM.∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=CD=BC.在△ADE和△CDN中，∴△ADE≌△CDN(ASA)，∴DE=DN.6
