第24讲 与圆相关的计算重难点 弧长、扇形面积的计算 (2022·枣庄改编)如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12.(1)⊙O内接正三角形的边长为6；(2)以⊙O的下半圆制作一个无底的圆锥，则圆锥的高为3；(3)若∠C＝60°.①求的长；②求阴影部分的面积．【自主解答】 解：①连接OE，OF.∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD.∵AB∥CD，∴OE⊥AB，即∠AOE＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°.∵OA＝OF，∴∠A＝∠OFA＝60°.∴∠AOF＝60°.∴∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝30°.∴的长为＝π.②根据①可知，OE是▱ABCD的高，S▱ABCD＝12×6＝72，∴S△AOF＝×62＝9，S扇形BOF＝＝12π.∴S阴影＝S▱ABCD－S△AOF－S扇形BOF＝72－9－12π.(1)已知圆的直径的情况下，要求圆内接正三角形的边长，只需在含120°的等腰三角形中解出GH即可．含120°的等腰三角形三边之比为1∶1∶；(2)考查圆锥的高线的计算，h＝；(其中R表示圆锥的母线长，即半圆的半径，r表示圆锥底面圆的半径)(3)①求弧长的关键是求圆心角的度数，在求圆心角的度数时，涉及切线的性质，平行四边形的性质等等知识点；②求阴影部分的面积关键是要转化成规则图形的面积，然后再进行计算．6\n求阴影部分面积的常用方法：(1)公式法：如果所求图形的面积是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算；(2)和差法：所求图形的面积是不规则的图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；(3)等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件．【变式训练1】 (2022·沈阳)如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝2，则的长是(A)A．πB.πC．2πD.π【变式训练2】 如图，在半径为3，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是(B)A.－B.－C.＋D.－【变式训练3】 (2022·荆门)如图，在▱ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为π－．考点1 与正多边形有关的计算1．正八边形的中心角是(A)A．45°B．135°C．360°D．1080°2．(2022·德阳)已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是(B)A．2B．1C.D.考点2 弧长的计算3．(2022·黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为(D)6\nA.πB.πC．2πD.π4．(2022·宁波)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB边于点D，则的长为(C)A.πB.πC.πD.π5．(2022·白银)如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为πa．考点3 扇形面积的计算6．(2022·德州)如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形．则此扇形的面积为(A)A.m2B.πm2C．πm2D．2πm27．(2022·山西)如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是(A)A．4π－4B．4π－8C．8π－4D．8π－88．(2022·济宁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是(A)6\nA.B.C.－D.9．(2022·云南)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点．∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A.∵∠BCD＝∠A，∴∠ACO＝∠BCD.∴∠BCD＋∠OCB＝90°.∴∠OCD＝90°.∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴∠BOC＝60°，OD＝2OC.∴∠AOC＝120°，∠A＝30°.设⊙O的半径为x，则OB＝OC＝x.∴x＋2＝2x，解得x＝2.过点O作OE⊥AC，垂足为E.在Rt△OEA中，OE＝OA＝1，AE＝＝＝.∴AC＝2.∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝－×2×1＝π－.考点4 圆锥的有关计算10．(2022·衢州)如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为(C)A.B.C.D.6\n11．(2022·通辽)如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为6的等边三角形，俯视图是直径为6的圆，则此几何体的全面积是(C)A．18πB．24πC．27πD．42π12．(2022·仙桃)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A．120°B．180°C．240°D．300°13．(2022·宿迁)已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是15πcm2.14．(2022·郴州)如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为12πcm.(结果用π表示)15．用半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是5cm.16．(2022·株洲)如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝48°．17．(2022·盐城)如图，左图是由若干个相同的图形(右图)组成的美丽图案的一部分．右图中，图形的相关数据：半径OA＝2cm，∠AOB＝120°.则右图的周长为__cm．(结果保留π)186\n．(2022·烟台)如图，点O为正六边形ABCDEF的中点，点M为AF中点．以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1∶r2＝∶2．19．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少(平方步)？(A)A．120B．240C．360D．48020．(2022·宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1.若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S＝2．(结果保留根号)6
