课时训练(二十六) 与圆有关的计算(限时:50分钟)|夯实基础|1.120°的圆心角所对的弧长是6π,则此弧所在圆的半径是( )A.3B.4C.9D.182.[2022·黄石]如图K26-1,AB是☉O的直径,点D为☉O上一点,且∠ABD=30°,BO=4,则BD的长为( )图K26-1A.23πB.43πC.2πD.83π3.[2022·台湾]如图K26-2,△ABC中,D为BC的中点,以D为圆心,BD长为半径画弧交AC于E点,若∠A=60°,∠ABC=100°,BC=4,则扇形BDE的面积为( )图K26-2A.13πB.23πC.49πD.59π4.[2022·天门]一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( )A.120°B.180°C.240°D.300°5.如图K26-3,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,点A,B,C均为格点,则扇形ABC中BC的长等于( )13\n图K26-3A.2πB.3πC.4πD.172π6.[2022·绵阳]蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2,圆柱高为3m,圆锥高为2m的蒙古包,则需要毛毡的面积是( )A.(30+529)πm2B.40πm2C.(30+521)πm2D.55πm27.[2022·广安]如图K26-4,已知☉O的半径是2,点A,B,C在☉O上,若四边形OABC为菱形,则图中阴影部分面积为( )图K26-4A.23π-23B.23π-3C.43π-23D.43π-38.如图K26-5,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形ABCD在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置……以此类推,这样连续旋转2022次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是( )13\n图K26-5A.2022πB.3019.5πC.3024πD.3026π9.[2022·昆明]如图K26-6,正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心,AB的长为半径,作扇形ABF,则图中阴影部分的面积为 (结果保留根号和π). 图K26-610.[2022·盐城]如图K26-7,图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分,图②中,图形的相关数据:半径OA=2cm,∠AOB=120°.则图②的周长为 cm(结果保留π). 图K26-711.[2022·梧州]如图K26-8,圆锥侧面展开得到扇形,此扇形半径CA=6,圆心角∠ACB=120°,则此圆锥高OC的长度是 . 图K26-812.[2022·云南]如图K26-9,已知AB是☉O的直径,C是☉O上的点,点D在AB的延长线上,∠BCD=∠BAC.13\n图K26-9(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若∠D=30°,BD=2,求图中阴影部分的面积.13.[2022·沧州模拟]如图K26-10,半圆O的直径AB=6,弦CD的长为3,点C,D在AB上运动,D点在AC上且不与A点重合,但C点可与B点重合.13\n图K26-10(1)当AD的长=34π时,求BC的长;(2)取CD的中点M,在CD运动的过程中,求点M到AB的距离的最大值.|拓展提升|14.[2022·安顺]如图K26-11,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC',点C'在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为 cm2. 图K26-1115.[2022·潍坊]如图K26-12,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线l:y=3x于点B1,以原点O为圆心,OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2,以原点O为圆心,OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3;….按此作法进行下去,则的长是 . 13\n图K26-1216.[2022·襄阳]如图K26-13,AB是☉O的直径,AM和BN是☉O的两条切线,E为☉O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CB=CE.图K26-13(1)求证:DA=DE;(2)若AB=6,CD=43,求图中阴影部分的面积.17.[2022·河北25题节选]如图K26-14,半圆O的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径,向点O方向作半圆M,其中P点在AQ上且不与A点重合,但Q点可与B点重合.发现:AP的长与QB的长之和为定值l,求l.探究:当半圆M与AB相切时,求AP的长.13\n注:结果保留π,cos35°=63,cos55°=33图K26-1413\n参考答案1.C2.D3.C [解析]∵∠A=60°,∠ABC=100°,∴∠C=180°-60°-100°=20°.∵DE=DC,∴∠DEC=∠C=20°,∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°,∴S扇形DBE=40·π·22360=49π.故选C.4.B [解析]设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面面积=πr2,侧面面积=πrR,∵侧面积是底面积的2倍,∴2πr2=πrR,∴R=2r,设圆心角为n,则nπR180=2πr=πR,解得n=180°,故选B.5.D [解析]在△ACE与△BAD中,CE=AD=4,∠E=∠D=90°,AE=BD=1,∴△ACE≌△BAD(SAS),∴∠ECA=∠BAD,∵∠ECA+∠CAE=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,∴∠CAB=90°,∵AC=AB=42+12=17,∴扇形ABC中BC的长=90π×17180=172π,故选D.6.A [解析]设底面圆的半径为R,则πR2=25π,解得R=5,圆锥的母线长=22+52=29,所以圆锥的侧面积=π×5×29=529π;圆柱的侧面积=2π×5×3=30π,所以需要毛毡的面积=(30π+529π)m2.故选A.7.C [解析]连接OB和AC交于点D,如图所示.∵圆的半径为2,∴OB=OA=OC=2,又四边形OABC是菱形,∴OB⊥AC,OD=12OB=1,在Rt△COD中利用勾股定理可知:13\nCD=22-12=3,∴AC=2CD=23,∵sin∠COD=CDOC=32,∴∠COD=60°,∠AOC=2∠COD=120°,∴S菱形ABCO=12OB·AC=12×2×23=23,S扇形AOC=120·π·22360=4π3,则图中阴影部分面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=43π-23,故选C.8.D [解析]第一次旋转点A经过的路程是90π×4180=2π,第二次旋转点A经过的路程是90π×5180=52π,第三次旋转点A经过的路程是90π×3180=32π,第四次旋转点A经过的路程是0,第五次旋转点A经过的路程是90π×4180=2π,…,以此类推,每旋转四次一循环,顶点A旋转四次经过的路程为2π+52π+32π=6π,而2022÷4=504……1,∴这样连续旋转2022次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是6π×504+2π=3026π.故选D.9.332-13π [解析]由于正六边形的每一个内角的度数=(6-2)×180°6=120°,所以S阴影=S正六边形ABCDEF-S扇形ABF=6×34×12-120360×π×12=332-13π.10.8π3 [解析]∵半径OA=2cm,∠AOB=120°,∴AB的长=120·π·2180=4π3,AO的长+OB的长=4π3,∴题图②的周长=4π3+4π3=8π3(cm).11.42 [解析]设圆锥底面圆的半径为r,∵AC=6,∠ACB=120°,∴lAB=120π×6180=2πr,∴r=2,即OA=2,在Rt△AOC中,OA=2,AC=6,根据勾股定理得,OC=AC2-OA2=42,故答案为42.12.[解析](1)连接OC,证明OC⊥CD.(2)先计算出扇形OAC的面积以及△OAC的面积,再利用S阴影=S扇形OAC-S△OAC求解.解:(1)证明:连接OC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°.∵OA=OC,13\n∴∠ACO=∠A.∵∠BCD=∠A,∴∠ACO=∠BCD,∴∠BCD+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切线.(2)∵∠D=30°,∠OCD=90°,∴∠BOC=60°,OD=2OC,∴∠AOC=120°,∠A=30°.设☉O的半径为x,则OB=OC=x,∴x+2=2x,解得x=2.过点O作OE⊥AC,垂足为点E,则AE=CE,在Rt△OEA中,OE=12OA=1,AE=AO2-OE2=22-12=3,∴AC=23,∴S阴影=S扇形OAC-S△OAC=120×π×22360-12×23×1=43π-3.13.解:(1)连接OD,OC,∵CD=OC=OD=3,∴△CDO是等边三角形,∴∠COD=60°,∴CD的长=60π×3180=π.又∵半圆弧的长度为:12×6π=3π,∴BC的长=3π-π-3π4=5π4.(2)过点M作ME⊥AB于点E,连接OM,13\n在CD运动的过程中,CD=3,由垂径定理可知:DM=32,由勾股定理可知:OM=OD2-DM2=332,由勾股定理可知:ME2=OM2-OE2,若ME取最大值,则只需要OE最小即可,令OE=0,此时ME=OM=332,即点M到AB的距离的最大值为332.14.14π [解析]∵∠BOC=60°,△B'OC'是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的,∴∠B'OC'=60°,△B'C'O≌△BCO,∴∠B'OC=60°,∠C'B'O=30°,∴∠B'OB=120°,∵AB=2cm,∴OB=1cm,OC'=12cm,∴B'C'=32cm,∴S扇形B'OB=120π×12360=13π,S扇形C'OC=120π×14360=π12,∴阴影部分面积=S扇形B'OB+S△B'C'O-S△BCO-S扇形C'OC=S扇形B'OB-S扇形C'OC=13π-π12=14π.故答案为:14π.15.22022π3 [解析]由题意可知点B1的坐标为(2,23),∵以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2,∴OA2=OB1,∴OA2=22+(23)2=4,点A2的坐标为(4,0),同理可求得B2的坐标为(4,43),故点A3的坐标为(8,0),B3(8,83),以此类推便可求出点A2022的坐标为(22022,0),则A2022B2022的长是60×π×22022180=22022π3.16.解:(1)证明:连接OE,OC,∵BN切☉O于点B,∴∠OBN=90°.∵OE=OB,OC=OC,CE=CB,∴△OEC≌△OBC,∴∠OEC=∠OBC=90°,∴CD是☉O的切线.13\n∵AD切☉O于点A,∴DA=DE.(2)过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,∴AD=BF,DF=AB=6.∴DC=BC+AD=43.∵FC=DC2-DF2=23,∴BC-AD=23,∴BC=33.在Rt△OBC中,tan∠BOC=BCBO=3,∴∠BOC=60°.∵△OEC≌△OBC,∴∠BOE=2∠BOC=120°.∴S阴影部分=S四边形BCEO-S扇形OBE=2×12BC·OB-120360×π·OB2=93-3π.17.解:发现:如图①,连接OP,OQ,∵AB=4,∴OP=OQ=2,∵PQ=2,∴△OPQ是等边三角形,∴∠POQ=60°,∴PQ的长=60π×2180=23π,又∵AB的长为:12π×4=2π,∴AP的长+QB的长=2π-23π=43π,∴l=43π.探究:设切点为C,当半圆M与AB相切时,此时,MC=1,如图②,当点C在线段OA上时,连接OM,OP,MC,13\n在Rt△POM中,OM=OP2-PM2=3.在Rt△OCM中,由勾股定理可求得:OC=2,∴cos∠AOM=OCOM=63,∴∠AOM=35°.∵∠POM=30°,∴∠AOP=∠AOM-∠POM=5°,∴AP的长=5π×2180=π18;如图③,当点C在线段OB上时,连接OQ,OM,OP,MC,此时,∠BOM=35°,∵∠POM=30°,∴∠AOP=180°-∠POM-∠BOM=115°,∴AP的长=115π×2180=2318π.综上所述,当半圆M与AB相切时,AP的长为π18或2318π.13
