第23讲 与圆相关的位置关系重难点 切线的性质与判定 (2022·郴州T23，8分)已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．【思路点拨】 (1)先求出∠ABC＝30°，进而求出∠BAD＝120°，再由OA＝OB即可求出∠OAB＝30°，结论得证；(2)先求出∠AOC＝60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．解：(1)∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°.根据三角形的内角和定理，得∠BAD＝120°.2分连接OA.∵OA＝OB.∴∠OAB＝∠ABC＝30°.∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°.∴OA⊥AD.∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线.4分(2)∵∠AEC＝30°，∴∠AOC＝60°.∵BC⊥AE于点M，∴AE＝2AM，∠OMA＝90°.6分在Rt△AOM中，AM＝OA·sin∠AOM＝4×sin60°＝2.∴AE＝2AM＝4.8分 (2022·江西)如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．【思路点拨】 (1)作OE⊥AB，先由∠AOD＝∠BAD求得∠ABD＝∠OAD，再由∠BCO＝∠D＝90°及∠BOC＝∠AOD求得∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE＝OC，依据切线的判定可得；(2)先求得∠EOA＝∠ABC，在Rt△ABC中求得AC＝8，AB＝10，由切线长定理知BE＝BC＝6，AE＝4，OE＝3，继而得BO＝3，再证△ABD∽△OBC得＝，据此可得答案．8\n【自主解答】 解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO于点D，∴∠D＝90°.∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°.∵∠AOD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠OAD.又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC.∴∠BCO＝∠D＝90°.∵∠BOC＝∠AOD，∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD.在△BOC和△BOE中，∴△BOC≌△BOE(AAS)．∴OE＝OC.∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线．(2)∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°，∴∠EOA＝∠ABC.∵tan∠ABC＝，BC＝6，∴AC＝BC·tan∠ABC＝8.则AB＝＝10.由(1)知，BE＝BC＝6，∴AE＝4.∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，∴＝.∴OE＝3，OB＝＝3.∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，∴△ABD∽△OBC.∴＝，即＝.∴AD＝2.证明圆的切线时，可以分以下两种情况：(1)若直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角(如例1(1))；8\n(2)直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等(如例2(1))．考点1 点与圆的位置关系1．已知点A在直径为8cm的⊙O内，则OA的长可能是(D)A．8cmB．6cmC．4cmD．2cm2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，以C点为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是(B)A．点O在⊙C外B．点O在⊙C上C．点O在⊙C内D．不能确定考点2 直线与圆的位置关系3．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心、3为半径的圆，一定(C)A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相交C．与x轴相交，与y轴相切D．与x轴相交，与y轴相交4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是相离．考点3 切线的性质与判定5．(2022·福建)如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D.若∠ACB＝50°，则∠BOD等于(D)A．40°B．50°C．60°D．80°6．(2022·日照)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是(A)A．5B．5C．5D.8\n7．(2022·重庆A卷)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为(A)A．4B．2C．3D．2.58．(2022·无锡)如图，在矩形ABCD中，G是BC中点，过A，D，G三点的⊙O与边AB，CD分别交于点E，F，给出下列说法：①AC与BD的交点是⊙O的圆心；②AF与DE的交点是⊙O的圆心；③BC与⊙O相切，其中正确的说法的个数是(C)A．0B．1C．2D．39．(2022·黄冈)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C.(1)求证：∠CBP＝∠ADB；(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．解：(1)证明：连接OB，则OB⊥BC，∠OBD＋∠DBC＝90°.又AD为直径，∴∠DBP＝∠DBC＋∠CBP＝90°.∴∠OBD＝∠CBP.又OD＝OB，∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBP，即∠ADB＝∠CBP.(2)∵∠ABD＝∠AOP，∠DAB＝∠PAO，∴△ADB∽△APO.∴＝.∵AB＝1，AO＝2，AD＝4，8\n∴AP＝8，BP＝7.10．(2022·金华)如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD.已知∠CAD＝∠B.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半径．解：(1)证明：连接OD.∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B.∵∠B＝∠CAD，∴∠ODB＝∠CAD.在Rt△ACD中，∠CAD＋∠ADC＝90°，∴∠ODB＋∠ADC＝90°.∴∠ADO＝180°－(∠ADC＋∠ODB)＝90°.∴OD⊥AD.又∵OD是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线．(2)设⊙O的半径为r.在Rt△ABC中，AC＝BC·tanB＝8×＝4.∴AB＝＝＝4.∴OA＝4－r.在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tanB＝.∴CD＝AC·tan∠CAD＝4×＝2.∴AD2＝AC2＋CD2＝42＋22＝20.在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2.∴(4－r)2＝r2＋20.解得r＝.考点4 切线长定理11．(2022·深圳)如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是(D)A．3cmB．3cmC．6cmD．6cm8\n12．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为20__cm．13．(2022·娄底)如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC都相切，切点分别为D，E，C，半径OC＝1，则AE·BE＝1．考点5 三角形与圆14．(2022·黄石)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC内切圆的周长为4π．15．如图，在△ABC中，BC＝3cm，∠BAC＝60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．16．(2022·泸州)在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x＋2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为(D)A．3B．2C.D.17．(2022·宁波)如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4．8\n18．(2022·内江)已知△ABC的三边a，b，c，满足a＋b2＋|c－6|＋28＝4＋10b，则△ABC的外接圆半径＝．19．(2022·内江)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE.(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；(2)求证：2DE2＝CD·OE；(3)若tanC＝，DE＝，求AD的长．解：(1)DE是⊙O的切线．理由：连接OD，BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∵OE∥AC，OA＝OB，∴BE＝CE.∴DE＝BE＝CE.∴∠DBE＝∠BDE.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODE＝∠OBE＝90°.∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．(2)证明：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB.∴＝.∴BC2＝CD·AC.由(1)知，DE＝BE＝CE＝BC.∴4DE2＝CD·AC.由(1)知，OE是△ABC的中位线，∴AC＝2OE.∴4DE2＝CD·2OE.∴2DE2＝CD·OE.(3)∵DE＝，∴BC＝5.在Rt△BCD中，tanC＝＝，设CD＝3x，BD＝4x，根据勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝25.∴x＝－1(舍)或x＝1.∴BD＝4，CD＝3.8\n由(2)知，BC2＝CD·AC，∴AC＝＝.∴AD＝AC－CD＝－3＝.8
