第31讲 与圆有关的计算1.(2022，河北)某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8m，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα＝，则圆锥的底面积是36πm2.第1题图【解析】∵AO＝8，tanα＝＝，∴BO＝6.所以圆锥的底面积是π·62＝36π(m2)．2.(2022，河北)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝2，则S阴影为(D)第2题图A.πB.2πC.D.π【解析】∵CD⊥AB，CD＝2，∴CE＝DE＝CD＝.在Rt△ACE中，∵∠C＝30°，∴AE＝CE·tan30°＝1.在Rt△OED中，∵∠DOE＝2∠C＝60°，∴OD＝＝2.∴OE＝OA－AE＝OD－AE＝1.∴S阴影＝S扇形OAD－S△OED＋S△ACE＝－×1×＋×1×＝π.3.(2022，河北)如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形＝4cm2.第3题图【解析】由题意，得弧长为8－2×2＝4(cm)，扇形的面积是×4×2＝4(cm2)．4.(2022，河北)如图①，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC13\n为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而＝45°是360°(多边形外角和)的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图②所示．第4题图图②中的图案外轮廓周长是14；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是21.【解析】题图②中的图案外轮廓周长是6＋6＋2＝14.设∠BPC＝2x，则以∠BPC为内角的正多边形的边数为＝，以∠APB为内角的正多边形的边数为.所以图案的外轮廓周长是－2＋－2＋－2＝＋－6.根据题意，可知2x的值只能为60，90，120，144.当x越小时，周长越大．∴当x＝30时，周长最大．把此时的图案定为会标，则会标的外轮廓周长是＋－6＝21. 扇形的弧长与面积例1(2022，唐山滦南县二模)如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2.将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以点O，E为圆心，OA，ED的长为半径画和，连接AD，则图中阴影部分的面积是(A)例1题图A.8－πB.C.3＋πD.π【解析】如答图，过点D作DH⊥AE于点H.∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝＝.由旋转的性质，可知OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝.∵∠OFE＋∠FEO＝∠OED＋∠FEO＝90°，∴∠OFE＝∠OED.∴△DHE≌△EOF.∴DH＝OE＝OB＝2.∴S阴影＝S△ADE＋S△EOF＋S扇形AOF－S扇形DEF＝×5×2＋×2×3＋－＝8－π.13\n例1答图针对训练1(2022，成都武侯区模拟)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△AOB的三个顶点都在格点上．现将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到对应的△COD，则点A经过的路径的长为(A)训练1题图A.B.πC.2πD.3π【解析】∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到对应的△COD，∴∠AOC＝90°.∵OC＝3，∴点A经过的路径的长为＝.针对训练2(2022，绍兴柯桥区模拟)如图，△ABC为等边三角形，保持各边的长度不变，将BC边向三角形外拉伸得到扇形ABC.设△ABC的面积为S1，扇形ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为(A)训练2题图A.S1＜S2B.S1＝S2C.S1＞S2D.无法确定【解析】设△ABC的边长是a，高是h，则a＞h.∵S1＝ah，S2＝··a＝a2，∴S1＜S2. 圆锥的相关计算例2(2022，连云港模拟)如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角的度数为120°.若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为(A)例2题图A.4πB.6πC.9πD.12π13\n【解析】由弧长公式，可知＝＝4π.∴圆锥底面圆的周长为4π.设底面圆的半径为r，∴4π＝2πr.∴r＝2.∴圆锥的底面积为π·22＝4π.针对训练3(2022，南京秦淮区模拟)已知圆锥的母线长为12，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积是(D)A.24πB.36πC.70πD.72π【解析】圆锥的底面圆的周长为2π·6＝12π，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为12π，则圆锥的侧面积为·12π·12＝72π.针对训练4(2022，银川兴庆区模拟)如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB＝AC.以点A为圆心，AC的长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合)．若∠ABC＝30°，BC＝2，则这个圆锥底面圆的半径是(A)训练4题图A.B.C.D.【解析】如答图，连接OA.∵AB＝AC，OB＝OC＝BC＝，∴AO⊥BC.∵∠ABC＝30°，∴∠BAC＝120°，AO＝OB＝1.∴AB＝2OA＝2.设这个圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝.解得r＝.训练4答图 正多边形和圆例3(2022，南阳镇平县模拟)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为(B)例3题图A.2B.2C.D.4【解析】如答图，连接OB，OC.∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°.∵OB＝13\nOC，∴△BOC是等边三角形．∴∠OBM＝60°.∴OM＝OB·sin∠OBM＝4×＝2.例3答图针对训练5如图，将正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB的长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)．若AB＝3，则所得扇形的面积为18.训练5题图【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝3，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA＝3.∴的长为3×4＝12.∴S扇形AFB＝×12×3＝18.针对训练6(2022，石家庄新华区模拟)如图，边长为的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为的圆上，顶点C，D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为（π）.训练6题图【解析】如答图，设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，OF.∵AB＝，AO＝BO＝，∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB＝∠OAB＝60°.同理△FAO也是等边三角形，∠FAB＝2∠OAB＝120°.∴∠EAC＝120°－90°＝30°，∠GFE＝120°－90°＝30°.∵AD＝AB＝，∴AC＝＝2.当点C第一次落在圆上时即点G的位置，点C运动的路径长为＋＝π.训练6答图13\n一、选择题1.(2022，盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧()，则的展直长度为(B)第1题图A.3πB.6πC.9πD.12π【解析】的展直长度为＝6π.2.(2022，仙桃)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A.120°B.180°C.240°D.300°【解析】设母线长为R，底面圆的半径为r，∴底面圆的周长为2πr，底面积为πr2，侧面面积为πrR.∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2＝πrR.∴R＝2r.设圆心角为n，则＝2πr＝πR.解得n＝180°.3.(2022，宁夏)用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥底面圆的半径是(A)A.10B.20C.10πD.20π【解析】设这个圆锥底面圆的半径是r.依题意，得2πr＝.解得r＝10.故这个圆锥底面圆的半径是10.4.如图，在△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧交AC于点E.若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为(C)第4题图A.B.C.D.【解析】∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝180°－60°－100°＝20°.∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C＝20°.∴∠BDE＝∠C＋∠DEC＝40°.∴S扇形BDE＝＝.5.(2022，黄石)如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则13\n的长为(D)第5题图A.B.C.2πD.【解析】如答图，连接OD.∵∠ABD＝30°，∴∠AOD＝2∠ABD＝60°.∴∠BOD＝120°.∴的长为＝.第5题答图6.(2022，石家庄裕华区一模)如图，两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是(C)第6题图A.5∶2B.3∶2C.3∶1D.2∶1【解析】正六边形的面积为6×·(2a)2＝6a2，阴影部分的面积为2·a·a＝2a2，∴空白部分与阴影部分的面积之比是6a2∶2a2＝3∶1.7.(2022，广安，导学号5892921)如图，已知⊙O的半径是2，点A，B，C在⊙O上．若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分的面积为(C)第7题图A.－2B.－C.－2D.－【解析】如答图，连接OB，AC，且它们相交于点D.∵⊙O的半径是2，∴OB＝OA＝OC＝2.∵四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD＝OB＝1.在Rt△COD中，利用勾股定理，可知CD＝13\n＝.∴AC＝2CD＝2.∵sin∠COD＝＝，∴∠COD＝60°.∴∠AOC＝2∠COD＝120°.∴S菱形ABCO＝·OB·AC＝×2×2＝2，S扇形AOC＝＝.∴S阴影＝S扇形AOC－S菱形ABCO＝－2.第7题答图8.(2022，衢州)如图，AB是圆锥的母线，BC为底面圆的直径．已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为(C)第8题图A.B.C.D.【解析】设圆锥的母线长为R.由题意，得15π＝π·3·R.解得R＝5.∴圆锥的高AO为4.∴sin∠ABC＝＝.9.(2022，成都)如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是(C)第9题图A.πB.2πC.3πD.6π【解析】∵在▱ABCD中，∠B＝60°，∴∠C＝120°.∴S阴影＝＝3π.10.(2022，绵阳)如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成．若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积为(A)第10题图A.(30＋5)πm2B.40πm2C.(30＋5)πm2D.55πm2【解析】设底面圆的半径为r.根据题意，得πr2＝25π.解得r＝5.∴圆锥的母线长为＝.∴圆锥的侧面积为×2π·5×＝5π，圆柱的侧面积为2π·5×3＝13\n30π.∴需要毛毡的面积为(30＋5)πm2.11.(2022，十堰)如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是(C)第11题图A.12π＋18B.12π＋36C.6π＋18D.6π＋36【解析】如答图，连接OD，BD.∵C为OB的中点，∴OC＝OB＝OD.∵CD⊥OB，∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°.∴△BDO为等边三角形．∵OD＝OA＝12，OC＝CB＝6.∴CD＝6.∴S扇形BOD＝＝24π.∴S阴影＝S扇形AOB－S扇形COE－(S扇形BOD－S△COD)＝－－＝6π＋18.第11题答图12.(2022，邯郸二模)正六边形ABCDEF与正三角形ACG按如图所示的位置摆放，在六边形AGCDEF中，的值是(D)第12题图A.B.C.D.【解析】如答图，连接DF，过点G作GM⊥AC于点M.设AC＝2a.∵六边形ABCDEF是正六边形，△ACG是正三角形，∴∠ABC＝＝120°，AB＝BC，AG＝CG＝AC＝2a.∴GM过点B.∴AM＝CM＝a，∠BAC＝∠BCA＝30°.∴BM＝a.∴AB＝2BM＝a.∴AF＝AB＝a.在Rt△GMA中，由勾股定理，得GM＝＝a.∴正六边形ABCDEF的面积为2×·2a·a＋2a·a＝2a2，正三角形ACG的面积为·AC·GM＝·2a·a＝13\na2，阴影部分的面积为·AC·BM＝·2a·a＝a2.∴＝＝.第12题答图二、填空题13.(2022，贵阳)如图，M，N分别是正五边形ABCDE的两边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是72°.第13题图【解析】如答图，连接OA，OB，OC，则∠AOB＝＝72°.∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBC.在△AOM和△BON中，∴△AOM≌△BON.∴∠AOM＝∠BON.∴∠MON＝∠AOB＝72°.第13题答图14.(2022，株洲，导学号5892921)如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是48°.第14题图【解析】如答图，连接OA.∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°.∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°.∴∠BOM＝∠AOM－∠AOB＝48°.13\n第14题答图三、解答题15.(2022，湖州)如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC.(1)求证：AE＝ED；(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．第15题图【思路分析】(1)根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可．(2)根据弧长公式解答即可．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD.∴AE＝ED.(2)解：∵OC⊥AD，∴＝.∴∠ABC＝∠CBD＝36°.∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°.∴＝＝2π.16.(2022，石家庄桥西区一模)如图，在矩形ABCD中，点F在BC边上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为E.(1)求证：DE＝AB；(2)以点A为圆心，AB的长为半径作弧交AF于点G.若AD＝4，tan∠ADE＝，求阴影部分的面积．第16题图【思路分析】(1)根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，AD∥BC，求出∠DAE＝∠AFB，∠AED＝90°，根据AAS推出△ABF≌△DEA即可．(2)根据tan∠ADE＝，可得∠ADE＝60°，解Rt△ADE，求出AE＝6，DE＝2，根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝2，BF＝EA＝6，∠BAF13\n＝∠EDA＝60°，再根据S阴影＝S△ABF－S扇形ABG求出即可．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC.∴∠DAE＝∠AFB.∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°.在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA(AAS)．∴DE＝AB.(2)解：∵tan∠ADE＝，∴∠ADE＝60°.∵AD＝4，∠AED＝90°，∴AE＝AD·sin∠ADE＝4×＝6，DE＝2.由(1)知，△ABF≌△DEA.∴AB＝DE＝2，BF＝EA＝6，∠BAF＝∠EDA＝60°.∴S阴影＝S△ABF－S扇形ABG＝×2×6－＝6－2π.1.(2022，荆州)如图，将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示(图中数据单位：cm)，则钢球的半径为（）cm.(圆锥的壁厚忽略不计)第1题图【解析】钢球的直径为×20＝(cm)，所以钢球的半径为÷2＝(cm)．2.(2022，荆门)如图，在▱ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为（－）.第2题图【解析】如答图，连接OE，AE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，∠B＝∠D＝30°.∴AE＝AB＝2，BE＝＝2.∵OA＝OB＝13\nOE，∴∠B＝∠OEB＝30°.∴∠BOE＝120°.∴S阴影＝S扇形OBE－S△BOE＝－×AE·BE＝π－×2×2＝－.第2题答图3.(2022，玉林，导学号5892921)如图，正六边形ABCDEF的边长是6＋4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝12＋4.第3题图【解析】如答图，过点A作AM⊥BF于点M，连接O1F，O1A，O1B.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB＝＝120°，AF＝AB.∴∠AFB＝∠ABF＝×(180°－120°)＝30°.∴AM＝AF＝×(6＋4)＝3＋2.∴FM＝BM＝AM＝3＋6.∴BF＝2FM＝12＋6.设△AFB的内切圆的半径为r.∵S△AFB＝S△AO1F＋S△AO1B＋S△BFO1，∴×(3＋2)×(6＋12)＝×(6＋4)·r＋×(6＋4)·r＋×(12＋6)·r.解得r＝3，即O1M＝r＝3.∴O1O2＝2×3＋6＋4＝12＋4.第3题答图13
