课时训练(二十四) 解直角三角形的应用(限时:30分钟)|夯实基础|1.如图K24-1,为测量一棵与地面垂直的树的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为( )图K24-1A.30tanα米B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=45,AC=6cm,则BC的长度为( )A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm10\n3.如图K24-2,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向,距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置,那么海轮航行的距离AB长是( )图K24-2A.2海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里4.[2022·兰州]如图K24-3,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得EG=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为( )图K24-3A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米5.如图K24-4,为了测量某建筑物MN的高度,在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°,沿直线AN向点N方向前进16m,到达B处,在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°,则建筑物MN的高度等于( )10\n图K24-4A.8(3+1)mB.8(3-1)mC.16(3+1)mD.16(3-1)m6.[2022·泰州]小明沿着坡度i为1∶3的直路向上走了50m,则小明沿垂直方向升高了 m. 7.[2022·苏州]如图K24-5,在一笔直的沿湖道路上有A,B两个游船码头,观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向,在码头B北偏西45°的方向,AC=4km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B,设开往码头A,B的游船速度分别为v1,v2,若回到A,B所用时间相等,则v1v2= (结果保留根号). 图K24-58.[2022·荆州]荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间,周边风景秀丽.现在塔底低于地面约7米,某校学生测得古塔的整体高度约为40米.其测量塔顶相对地面高度的过程如下:先在地面A处测得塔顶的仰角为30°,再向古塔方向行进a米后到达B处,在B处测得塔顶的仰角为45°(如图K24-6所示),那么a的值约为 米(3≈1.73,结果精确到0.1). 10\n图K24-69.[2022·济宁]如图K24-7,在一笔直的海岸线L上有相距2km的A,B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60°的方向上,从B站测得船C在北偏东30°的方向上,则船C到海岸线L的距离是 km. 图K24-710.[2022·盐城]已知△ABC中,tanB=23,BC=6.过点A作BC边上的高,垂足为点D,且满足BD∶CD=2∶1,则△ABC面积的所有可能值为 . 11.[2022·淮安]为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离,某数学兴趣小组在公路l上的点A处,测得凉亭P在北偏东60°的方向上;从A处向正东方向行走200米,到达公路l上的点B处,再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上,如图K24-8所示,求凉亭P到公路l的距离.(结果保留整数,参考数据:2≈1.414,3≈1.732)图K24-810\n|拓展提升|12.[2022·宿迁]如图K24-9,为了测量山坡上一棵树PQ的高度,小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°,然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处,此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°.设PQ⊥AB,且垂足为C.(1)求∠BPQ的度数;(2)求树PQ的高度(结果精确到0.1m,3≈1.73).图K24-913.[2022·泰州]日照间距系数反映了房屋日照情况,如图K24-10①,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数=L∶(H-H1),其中L为楼间水平距离,H为南侧楼房高度,H1为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图②,山坡EF朝北,EF长为15m,坡度为i=1∶0.75,山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB,底部A到E点的距离为4m.(1)求山坡EF的水平宽度FH;(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m,要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底部C距F处至少多远?10\n图K24-1010\n参考答案1.C2.C [解析]∵sinA=BCAB=45,∴设BC=4x,AB=5x,又∵AC2+BC2=AB2,∴62+(4x)2=(5x)2,解得x=2或x=-2(舍),则BC=4x=8cm,故选C.3.C [解析]根据cosA=ABPA得AB=PA·cosA=2cos55°.故选C.4.A [解析]由题意可知∠AGC=∠FGE,又∵∠FEG=∠ACG=90°,∴△FEG∽△ACG,∴FE∶AC=EG∶CG,∴1.6∶AC=3∶15,∴AC=8,∴AB=AC+BC=8.5米.5.A [解析]设BN=x,则AN=16+x.在Rt△BMN中,MN=x·tan45°=x.在Rt△AMN中,16+x=3x,解得x=8(3+1).∴建筑物MN的高度等于8(3+1)m.6.25 [解析]如图,过点B作BE⊥AC于点E,∵坡度i=1∶3,∴tanA=1∶3=33,∴∠A=30°,∵AB=50m,∴BE=12AB=25(m).∴小明沿垂直方向升高了25m.7.2 [解析]根据“特殊角三角函数的应用”,作CD⊥AB,垂足为D,∵AC=4,∠CAB=30°,∴CD=2.在Rt△BCD中,10\n∠CBD=45°,∴BC=22.∵开往码头A,B的游船回到A,B所用时间相等,∴v1v2=422=2.8.24.1 [解析]如图所示,延长AB交古塔于点D,则AD⊥CD.由题意可知,CD=40-7=33(米),在Rt△BCD中,∵∠CBD=45°,∴CD=BD=33米,∴AD=AB+BD=a+33(米),在Rt△ACD中,tan∠CAD·AD=CD,即33(a+33)=33,∴a=33(3-1)≈24.1.9.3 [解析]过点C作CD⊥AB于点D,根据题意得:∠CAD=90°-60°=30°,∠CBD=90°-30°=60°,∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°,∴∠CAB=∠ACB,∴BC=AB=2km,在Rt△CBD中,CD=BC·sin60°=2×32=3(km),因此,答案为:3.10.8或24 [解析]设CD=x,由BD∶CD=2∶1,得BD=2x,若点D在线段BC上,如图①,BC=BD+CD=3x=6,x=2,BD=4,由tanB=ADBD=23,得AD=23BD=23×4=83,S△ABC=12×6×83=8;若点D在线段BC的延长线上,如图②,BC=BD-CD=x=6,BD=12,由tanB=ADBD=23,得AD=23BD=23×12=8,S△ABC=12×6×8=24.故答案为8或24.11.解:过P作PC⊥AB于C,10\n在Rt△ACP中,tan∠APC=tan60°=ACPC,即AC=PCtan60°=3PC,同理可得,BC=PC,∵AB=AC-BC=3PC-PC=200,∴PC=2022-1=100(3+1)≈273,答:凉亭P到公路l的距离约为273米.12.解:(1)∵△PBC为直角三角形,且∠PBC=60°,∴∠BPQ=90°-60°=30°.(2)∵∠PBQ=∠PBC-∠QBC=60°-30°=30°,∠BPQ=30°,∴BQ=PQ.设CQ的长度为x,则PQ=BQ=2x,BC=3CQ=3x.∵∠A=45°,∴AC=PC.∵AB=10,∴2x+x=3x=10+3x.∴x=5(3+3)3.∴PQ=2×5(3+3)3≈15.8(m).13.解:(1)在Rt△EFH中,EHFH=i=1∶0.75,EH2+FH2=EF2=152,10\n∴FH=9,EH=12,答:山坡EF的水平宽度FH的长度为9m.(2)过点A作AG⊥CF,交CF的延长线于点G,过点P作PK⊥AG于点K,则KG=PC=0.9,AG=EH=12,∴BK=BA+AG-KG=22.5+12-0.9=33.6,∵PKBK≥1.25,∴PK≥1.25BK=1.25×33.6=42,∴CG≥42,∵FH=9,HG=EA=4,∴CF≥29,答:底部C距F处至少29m.10
