课时训练(二十二) 相似三角形(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·连云港]如图K22-1,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是( )图K22-1A.BCDF=12B.∠A的度数∠D的度数=12C.△ABC的面积△DEF的面积=12D.△ABC的周长△DEF的周长=122.如图K22-2,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为()图K22-213\nA.4B.5C.6D.83.如图K22-3所示,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD,则端点C的坐标为( )图K22-3A.(3,3)B.(4,3)C.(3,1)D.(4,1)4.如图K22-4,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为()图K22-4A.4B.42C.6D.435.[2022·泸州]如图K22-5,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则AGGF的值是( )13\n图K22-5A.43B.54C.65D.766.[2022·常州]如图K22-6,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD=2OA=6,AD∶AB=3∶1,则点C的坐标是( )图K22-6A.(2,7)B.(3,7)C.(3,8)D.(4,8)7.[2022·扬州]如图K22-7,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,CD与BE,AE分别交于点P,M.对于下列结论:①△BAE∽△CAD;②MP·MD=MA·ME;③2CB2=CP·CM.其中正确的是( )图K22-7A.①②③B.①C.①②D.②③8.[2022·镇江]如图K22-8,△ABC中,AB=6,DE∥AC,将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD'E',点D的对应点落在边BC上,13\n已知BE'=5,D'C=4,则BC的长为 . 图K22-89.如图K22-9,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1 S2.(填“>”“<”或“=”) 图K22-910.[2022·苏州]如图K22-10,8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD,点O,A,B,C,D均在格点上.若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r1;若用扇形OCD围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r2,则r1r2的值为 . 图K22-1011.[2022·无锡]如图K22-11,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cosB=35,求AD的长.图K22-1113\n12.[2022·南京]如图K22-12,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F.☉O经过点C,D,F,与AD相交于点G.(1)求证:△AFG∽△DFC;(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求☉O的半径.图K22-1213\n13.[2022·陕西]周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C,A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图K22-13所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.图K22-13|拓展提升|14.[2022·包头]如图K22-14,在平面直角坐标系中,直线l1:y=-24x+1与x轴、y轴分别交于点A和点B,直线l2:y=kx(k≠0)与直线l1在第一象限交于点C,若∠BOC=∠BCO,则k的值为( )13\n图K22-14A.23B.22C.2D.2215.[2022·连云港]如图K22-15,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为 . 图K22-1513\n参考答案1.D [解析]已知△ABC∽△DEF且相似比为1∶2,A选项中BC与DF不是对应边;B选项中的∠A和∠D是一对对应角,根据“相似三角形的对应角相等”可得∠A=∠D;根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得两个三角形的面积比是1∶4,根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得两个三角形的周长比是1∶2;因此A,B,C选项错误,D选项正确.2.C [解析]∵AD∥BE∥CF,∴ABBC=DEEF,即13=2EF,得EF=6.3.A [解析]根据题意可知A(6,6),原点O为位似中心且在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD,所以C(3,3),故选A.4.B [解析]∵BC=8,∴CD=4,在△CBA和△CAD中,∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,∴△CBA∽△CAD,∴ACBC=CDAC,∴AC2=CD·BC=4×8=32,∴AC=42.故选B.5.C [解析]因为正方形ABCD中,AE=3ED,DF=CF,所以设正方形ABCD的边长为4a,则AE=3a,ED=a,DF=CF=2a,延长BE,CD交于点M,易得△ABE∽△DME,可得MD=43a,因为△ABG∽△FMG,AB=4a,MF=103a,所以AGGF=ABMF=65.13\n6.A [解析]如图,作CE⊥y轴,垂足为E.∵OD=2OA=6,∴OA=3.由互余角易得Rt△CED∽Rt△DOA,∴CEDO=DEAO=CDAD,又∵CD=AB,∴CE6=DE3=13,∴CE=2,DE=1,∴OE=7,∴C点的坐标为(2,7).7.A [解析]由已知:AC=2AB,AD=2AE,∴ACAB=ADAE.∵∠BAC=∠EAD,∴∠BAE=∠CAD,∴△BAE∽△CAD,所以①正确.∵△BAE∽△CAD,∴∠BEA=∠CDA.又∵∠PME=∠AMD,∴△PME∽△AMD,∴MPMA=MEMD,∴MP·MD=MA·ME,所以②正确.∵∠BEA=∠CDA,∠PME=∠AMD,易得P,E,D,A四点共圆,∴∠APD=∠AED=90°.∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°,∴△CAP∽△CMA,∴AC2=CP·CM,∵AC=2AB,∴2CB2=CP·CM,所以③正确.故选A.8.2+34 [解析]①由条件“DE∥AC”可得△BDE∽△BAC,即有BDBA=BEBC;②由题意可得BE=BE'=5,BD=BD'=BC-D'C=BC-4,AB=6.设BC=x,由①、②可列方程:x-46=5x,解之得x=2+34(2-34已舍),故BC的长为2+34.13\n9.= [解析]∵点P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,∴PBAP=APAB,即AP2=PB·AB.∵S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,∴S1=AP2,S2=PB·AB,∴S1=S2.10.23 [解析]设∠AOB的度数为n°,2πr1=n180π·OA,2πr2=n180π·OC,∴r1r2=OAOC,∵AB∥CD,∴OAOC=ABCD=46=23,∴r1r2=OAOC=23.11.解:如图所示,延长AD,BC交于点E,∵四边形ABCD内接于☉O,∠A=90°,∴∠EDC=∠B,∠ECD=∠A=90°,∴△ECD∽△EAB,∴CDAB=ECEA.∵cos∠EDC=cosB=35,∴CDED=35,∵CD=10,∴10ED=35,∴ED=503,∴EC=ED2-CD2=(503) 2-102=403.∴1017=403503+AD,∴AD=6.12.[解析](1)欲证明△AFG∽△DFC,只要证明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD;(2)连接CG.首先证明AGDC=EADA,再证明CG是直径,求出CG长即可解决问题.解:(1)证明:在正方形ABCD中,∠ADC=90°,∴∠CDF+∠ADF=90°.13\n∵AF⊥DE,∴∠AFD=90°.∴∠DAF+∠ADF=90°.∴∠DAF=∠CDF.∵四边形GFCD是☉O的内接四边形,∴∠FCD+∠DGF=180°.又∠FGA+∠DGF=180°,∴∠FGA=∠FCD.∴△AFG∽△DFC.(2)如图,连接CG.∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF,∴△EDA∽△ADF.∴EAAF=DADF,即EADA=AFDF.∵△AFG∽△DFC,∴AGDC=AFDF.∴AGDC=EADA.在正方形ABCD中,DA=DC,∴AG=EA=1,DG=DA-AG=4-1=3.∴CG=DG2+DC2=32+42=5.∵∠CDG=90°,∴CG是☉O的直径.∴☉O的半径为52.13\n13.解:∵CB⊥AD,ED⊥AD,∴∠ABC=∠ADE=90°,∵∠CAB=∠EAD,∴△ABC∽△ADE,∴BCED=ABAD.∵BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m,∴AD=AB+8.5,∴11.5=ABAB+8.5.解得:AB=17.∴河宽AB的长为17m.14.B [解析]在y=-24x+1中,令x=0,得y=1,∴OB=1.令y=0,得x=22,∴OA=22.在Rt△OAB中,由勾股定理得AB=OA2+OB2=(22)2+12=3.∵∠BOC=∠BCO,∴BO=BC=1,∴AC=3-1=2.作CD⊥OA于点D,则△ADC∽△AOB,∴CDAC=OBAB,即CD2=13,解得CD=23.将y=23代入y=-24x+1得x=223,∴C223,23.将C223,23的坐标代入y=kx得k=22,故选择B.13\n15.2321 [解析]如图,过点B作DE⊥l2,交l1,l3于点D,E,过点C作CF⊥l1,垂足为F,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,∴ABBC=tan30°=33.∵l1∥l2∥l3,∴DE⊥l1,DE⊥l3,则∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,∴∠1=∠3.在△ABD与△BCE中,∠1=∠3,∠ADB=∠BEC=90°,∴△ABD∽△BCE.∴ADBE=BDCE=ABBC,即AD2=1CE=33,解得AD=233,CE=3.则AF=CE-AD=33,在Rt△ACF中,AC=CF2+AF2=32+332=2321.故答案为2321.13
