课时训练(二十一) 直角三角形与勾股定理(限时:30分钟)|夯实基础|1.能说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是()A.a=-2B.a=13C.a=1D.a=22.[2022·青岛]如图K21-1,已知三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=32,则BC的长是( )图K21-1A.322B.32C.3D.333.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()11\n图K21-24.[2022·湖州]如图K21-3,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于( )图K21-3A.1B.2C.32D.25.[2022·连云港]如图K21-4①,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S1,S2,S3;如图②,分别以直角三角形三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为S4,S5,S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,则S3+S4=()图K21-4A.86B.64C.54D.486.[2022·十堰]如图K21-5,已知圆柱的底面直径BC=6π,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面11\n爬回C点,则小虫爬行的最短路程为( )图K21-5A.32B.35C.65D.627.[2022·德州]如图K21-6,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为 . 图K21-68.如图K21-7,在△ABC中,∠ACB=90°,M,N分别是AB,AC的中点,延长BC至点D,使CD=13BD,连接DM,DN,MN.若AB=6,则DN= . 图K21-79.如图K21-8所示,△ABC中,CD⊥AB于点D,E是AC的中点,若AD=6,DE=5,则CD的长等于 . 图K21-811\n10.[2022·丽水]我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图K21-9①所示.在图②中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为 . 图K21-911.如图K21-10,折叠矩形纸片ABCD,得折痕BD,再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DF.若AB=4,BC=2,则AF= . 图K21-1012.如图K21-11,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)图K21-1111\n|拓展提升|13.[2022·成都]如图K21-12,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:①分别以点A和C为圆心,以大于12AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E,若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为 . 图K21-1214.[2022·重庆A卷]如图K21-13,把三角形纸片折叠,使点B,点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=23厘米,则△ABC的边BC的长为 厘米. 图K21-1315.[2022·衡阳]如图K21-14,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动,同时动点Q从点A出发以2cm/s的速度沿AB匀速运动,当点P到达点A时,点P,Q同时停止运动.设运动时间为t(s).(1)当t为何值时,点B在线段PQ的垂直平分线上?11\n(2)是否存在某一时刻t,使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.(3)以PC为边,往CB方向作正方形CPMN,设四边形QNCP的面积为S,求S关于t的函数关系式.图K21-14参考答案1.A [解析]说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是a=-2,|-2|=2.故选A.2.B [解析]∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=45°.由折叠的性质可得∠BEF=90°,∴∠BFE=45°,∴BE=EF=32.∵点E为AB中点,∴AB=3,∴AC=3.在Rt△ABC中,BC=AB2+AC2=32+32=32.故选B.3.D [解析]如图,连接OP,由于OP是Rt△AOB斜边上的中线,所以OP=12AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,即OP是一个定值,点P就在以O为圆心,以OP长为半径的一段圆弧上,所以点P下落的路线是一段弧线.故选D11\n4.A [解析]在Rt△ABC中,连接CP并延长至AB于点D,由三角形的重心性质得到,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1,即CP∶PD=2∶1.又∵AC=BC,在等腰直角三角形ABC中,由三线合一,得到CD垂直平分线段AB,AB=6,∴CD=BD=3,点P到AB所在直线的距离即为PD的长度,即PD=1.5.C [解析]如图①,S1=34AC2,S2=34AB2,S3=34BC2.∵AB2=AC2+BC2,∴S1+S3=34AC2+34BC2=34AB2=S2,∴S3=S2-S1.如图②,易求S4=S5+S6,∴S3+S4=S2-S1+S5+S6=45-16+11+14=54.故选C.6.D [解析]把圆柱侧面展开,展开图如图所示,点A,C的最短距离为线段AC的长.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,∵CB为底面半圆弧长,∴CB=3,∴AC=32,∴从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为2AC=62.11\n7.3 [解析]因为CM⊥OB,OC=5,OM=4,所以CM=3,过点C作CN⊥OA于N,又因为OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,所以CN=CM=3,即点C到射线OA的距离为3.8.3 [解析]连接CM,∵M,N分别是AB,AC的中点,∴NM=12CB,MN∥BC.又CD=13BD,∴MN=CD.又MN∥BC,∴四边形DCMN是平行四边形,∴DN=CM.∵∠ACB=90°,M是AB的中点,∴CM=12AB=3,∴DN=3.9.8 [解析]∵CD⊥AB于点D,∴∠ADC=90°.点E是Rt△ADC斜边上的中点,∴DE是Rt△ADC斜边上的中线,根据直角三角形斜边中线定理可得DE=AE=CE=5,∴AC=10.因此CD=102-62=8.10.10 [解析]设直角三角形的勾(较短的直角边)为a,股(较长的直角边)为b,根据题意得a+b=14,b-a=2,解得a=6,b=8,由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为62+82=100=10,即正方形EFGH的边长为10.11.5-1 [解析]在Rt△ABD中,AB=4,AD=BC=2,∴BD=AB2+AD2=42+22=25,由折叠的性质可得,△ADF≌△EDF,∴ED=AD=2,EF=AF,∴EB=BD-ED=25-2,设AF=x,则EF=AF=x,BF=4-x,在Rt△EBF中,x2+(25-2)2=(4-x)2,解得x=5-1,即AF=5-1.11\n12.解:∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°.∵∠BAC=90°,∴∠C=180°-90°-60°=30°,∴BC=2AB=4.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=BC2-AB2=42-22=23,∴△ABC的周长=AC+BC+AB=23+4+2=6+23.13.30 [解析]连接AE,由作图可知MN为线段AC的垂直平分线,∴AE=CE=3,在Rt△ADE中,AE2=AD2+DE2,∴AD=AE2-DE2=5,在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2,∵CD=DE+CE=5,∴AC=(5)2+52=30.14.(43+6) [解析]如图,过点E作EM⊥AG于点M,则由AE=EG,得AG=2MG.∵∠AGE=30°,EG=23厘米,∴EM=12EG=3(厘米).在Rt△EMG中,由勾股定理,得MG=(23)2-(3)2=3(厘米),从而AG=6厘米.由折叠可知,BE=AE=23厘米,GC=AG=6厘米.∴BC=BE+EG+GC=23+23+6=43+6(厘米).11\n15.[解析](1)由题意知CP=t,AQ=2t,进而得出BQ=42-2t,BP=42+t2,点B在线段PQ的垂直平分线上,则有BQ=BP,即42-2t=42+t2,解方程即可求出t值;(2)应分两种情况讨论:①若AQ=PQ,∠AQP=90°;②若AP=PQ,∠APQ=90°,分别用t表示出AP的长,利用AP+PC=4,建立方程,求解即可;(3)连接QM,过Q作QG⊥AC于G,则△AQG为等腰直角三角形,且QG=AG=t,结合题意可证得四边形QMPG为矩形,从而得出Q,M,N三点共线,所以四边形QNCP为梯形,然后由QN=BN=4-t,CP=CN=t,利用梯形的面积公式求出四边形QNCP的面积即可.解:(1)由题意可知:CP=t,AQ=2t.∵∠C=90°,AC=BC=4,∴AB=BC2+AC2=42+42=42.∴BQ=42-2t.如果点B在线段PQ的垂直平分线上,则BQ=BP,∴42-2t=42+t2,∴t1=8-43,t2=8+43>4,舍去.∴当t=(8-43)s时,点B在线段PQ的垂直平分线上.(2)假设存在某一时刻t,使得△APQ是以PQ为腰的等腰三角形.如图①,①若AQ=PQ,则∠AQP=90°,AP=2AQ=2t,∴2t+t=4,即t=43.如图②,11\n②若AP=PQ,则∠APQ=90°,AP=PQ=t,∴AP+PC=2t=4,即t=2.∴存在t=43或t=2,使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形.(3)如图③,连接QM,过Q作QG⊥AC于G,则△AQG为等腰直角三角形,③∴QG=AG=t.∵四边形PMNC是正方形,∴PM=CN=PC=t.∵QG∥CN,QG=t,∴四边形QMPG为矩形.∴∠QMP=90°.∴Q,M,N三点共线.∴四边形QNCP为梯形.∵QN=BN=4-t,CP=CN=t,∴四边形QNCP的面积S=QN+CP2·CN=12(4-t+t)t=2t(0<t<4).11
