课时训练26解直角三角形及其应用限时：30分钟夯实基础1．如图K26－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，tanA＝12，下列判断正确的是( )图K26－1A．∠A＝30°B．AC＝12C．AB＝2D．AC＝22．[2022·温州]如图K26－2，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝1213，则小车上升的高度是( )图K26－2A．5米B．6米C．6．5米D．12米3．如图K26－3，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )图K26－3A．23mB．26mC．(23－2)mD．(26－2)m11\n4．[2022·苏州]如图K26－4，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( )图K26－4A．40海里B．60海里C．203海里D．403海里5．[2022·绵阳]一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在A点的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最短距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据：3≈1．732，2≈1．414)( )A．4．64海里B．5．49海里C．6．12海里D．6．21海里6．如图K26－5，为了测量楼的高度，从楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 m(结果保留根号)． 图K26－57．如图K26－6，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m(结果保留根号)． 图K26－611\n8．[2022·邵阳]如图K26－7所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°．n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度为 km．(结果保留根号) 图K26－79．[2022·邵阳]某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图K26－8所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．(结果精确到0．1m，温馨提示：sin15°≈0．26，cos15°≈0．97，tan15°≈0．27)图K26－811\n能力提升10．在△ABC中，AB＝122，AC＝13，cosB＝22，则BC边的长为( )A．7B．8C．8或17D．7或1711．[2022·重庆A卷]如图K26－9，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0．75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0．64，cos40°≈0．77，tan40°≈0．84)( )图K26－9A．5．1米B．6．3米C．7．1米D．9．2米12．如图K26－10，☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O的直径，若☉O的半径是4，sinB＝14，则线段AC的长为 ． 图K26－1013．[2022·遂宁]如图K26－11，某测量小组为了测量山BC的高度，在底面A处测得山顶B11\n的仰角为45°，然后沿着坡度为i＝1∶3的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC(结果保留根号)．图K26－11拓展练习14．如图K26－12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝43，点D，E分别在边AB，AC上，DE⊥AC，DE＝6，DB＝20，则tan∠BCD的值是 ． 11\n图K26－1215．如图K26－13，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠DAB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝45°，∠DCA＝30°，AB＝6，则AE＝ ． 图K26－1311\n参考答案1．D2．A [解析]在直角三角形中，小车水平行驶的距离为13×1213＝12(米)，则由勾股定理得到其上升的高度为132－122＝5(米)．3．B4．D [解析]由题意可知AB＝20，∠APB＝30°，∴PA＝203，∵BC＝2×20＝40，∴AC＝60，∴PC＝PA2＋AC2＝(203)2＋602＝403(海里)，故选D．5．B [解析]如图所示，由题意知∠BAC＝30°，∠ACB＝15°，11\n作BD⊥AC于点D，以点B为顶点，BC为边，在△ABC内部作∠CBE＝∠ACB＝15°，则∠BED＝30°，BE＝CE，设BD＝x，则AB＝BE＝CE＝2x，AD＝DE＝3x，∴AC＝AD＋DE＋CE＝23x＋2x，∵AC＝30，∴23x＋2x＝30，解得：x＝15(3－1)2≈5．49．故选B．6．103 7．(103＋1)8．(203-20) [解析]在Rt△ALR中，AR＝40，∠ARL＝30°，所以AL＝20，LR＝203．在Rt△BLR中，BL＝LR＝203，所以AB＝BL－AL＝203-20．9．解：由题意可知，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝12AB＝5m．在Rt△ACD中，sin∠ACD＝ADAC．因为∠ACD＝15°，AD＝5m，所以5AC≈0．26．解得AC≈19．2．答：AC的长度约为19．2m．10．D11．A [解析]过点C作CG⊥AB，垂足为点G，∵i＝1∶0．75，∴CGBG＝10．75，即BG＝34CG．∵坡长BC＝10米，BG2＋CG2＝BC2，∴916CG2＋CG2＝100，解得CG＝8米，∴BG＝6米．过点E作EF⊥AB，垂足为点F，易知EF∥CG，又CE∥AB，∴四边形CEFG为平行四边形，又∵EF⊥AB，∴▱CEFG为矩形，∴EF=CG＝8米，CE＝GF＝2米．又∵DE＝3米，∴DF11\n＝11米．在Rt△ADF中，∠A＝40°，∴tan40°＝DFAF，即11AF≈0．84，得AF≈13．1米，∴AB＝13．1－6－2＝5．1(米)．12．2 [解析]连接CD，∵AD是☉O的直径，∴∠ACD＝90°．∵∠D＝∠B，∴sinD＝sinB＝14．在Rt△ACD中，∵sinD＝ACAD＝14，∴AC＝14AD＝14×8＝2．故填2．13．解：如图所示，过点D作DF⊥AC，垂足为F，∵坡面AD的坡度i＝1∶3，且AD＝200，∴tan∠DAF＝DFAF＝13＝33，∴∠DAF＝30°，∴DF＝12AD＝12×200＝100，∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴EC＝DF＝100．11\n又∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°，∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°－∠BDE＝90°－60°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝45°－30°＝15°，∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝45°－30°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝200，在Rt△BDE中，sin∠BDE＝BEBD，∴BE＝BDsin∠BDE＝200×sin60°＝200×32＝1003，∴BC＝EC＋BE＝100＋1003，∴山高BC为(100＋1003)米．14．83 [解析]∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠BCD＝∠CDE．在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝AEDE＝43，DE＝6，∴AE＝8，∴AD＝10．∵DE∥BC，∴AECE＝ADDB，即8CE＝1020，解得CE＝16．在Rt△CDE中，tan∠BCD＝tan∠CDE＝CEDE＝166＝83．故填83．15．2 [解析]过点A作AH⊥BD于H，∵∠CDB＝∠AHD＝90°，∴AH∥CD，∴∠EAH＝∠DCA＝30°．在Rt△ABH中，AH＝AB·sin∠ABD＝6sin45°＝3．在Rt△AHE中，cos∠EAH＝AHAE，11\n∴AE＝AHcos∠EAH＝3cos30°＝2，故填2．11
