课时训练24相似三角形的应用限时：30分钟夯实基础1．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为( )A．48cmB．54cmC．56cmD．64cm2．[2022·滨州]在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，8)，B(10，2)．若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的12后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为( )A．(5，1)B．(4，3)C．(3，4)D．(1，5)3．如图K24－1，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是( )图K24－14．如图K24－2，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a∶b＝( )图K24－2A．2∶1B．2∶1C．3∶3D．3∶25．[2022·烟台]如图K24－3，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1．△AOB与△A'OB'是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B'的坐标是 ． 9\n图K24－36．如图K24－4，已知零件的外径为30mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)测量零件的内孔直径AB．若OC∶OA＝1∶2，且量得CD＝12mm，则零件的厚度x＝ mm． 图K24－47．如图K24－5，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的每个顶点都在格点上，延长DC与过点B的水平网格线交于点E，则线段CE的长为 ． 图K24－58．[2022·凉山州]如图K24－6，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米(结果保留根号)？图K24－69\n能力提升9．[2022·兰州]如图K24－7，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0．5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在台阶上的点G处，测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高EF＝1．6米，则凉亭的高度AB约为( )图K24－7A．8．5米B．9米C．8米D．10米10．[2022·扬州]如图K24－8，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM．其中正确的是( )图K24－8A．①②③ B．①C．①②D．②③11．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图K24－9①9\n，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1)求证：△AEF∽△ABC；(2)求这个正方形零件的边长；(3)如果把它加工成矩形零件，如图②，问这个矩形的最大面积是多少？图K24－9拓展练习12．如图K24－10①，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图②，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝2，则MN＝ ． 图K24－109\n13．[2022·眉山]如图K24－11①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB＝MN．(1)求证：BN平分∠ABE；(2)若BD＝1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；(3)如图②，若点F为AB的中点，连接FN，FM，求证：△MFN∽△BDC．图K24－11参考答案1．A2．C [解析]根据题意得点C的坐标为6×12，8×12，即C(3，4)．9\n3．B 4．B5．－2，43 [解析]由题意，将点B的横、纵坐标都乘-23得点B'的坐标．∵B的坐标为(3，－2)，∴B'的坐标为－2，43．6．3 7．528．解：如图，延长OC，AB交于点P．∵∠ABC＝120°，∴∠PBC＝60°．∵∠OCB＝∠A＝90°，∴∠P＝30°．∵AD＝20，∴OA＝12AD＝10．∵BC＝2，∴在Rt△CPB中，PC＝BC·tan60°＝23，PB＝2BC＝4．∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠A，∴△PCB∽△PAO，∴PCPA＝BCOA，∴PA＝PC·OABC＝23×102＝103，∴AB＝PA－PB＝103-4．答：路灯的灯柱AB高应该设计为(103-4)米．9．A [解析]由光线反射可知∠FGE＝∠AGC，又∵∠FEG＝∠ACG＝90°，∴△FEG∽△ACG，∴FE∶AC＝EG∶CG，∴1．6∶AC＝3∶15，∴AC＝8，∴AB＝AC＋BC＝8．5．10．A [解析]由题意可知AC＝2AB，AD＝2AE，∴ACAB＝ADAE，∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，所以①正确;9\n∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴MPMA＝MEMD，∴MP·MD＝MA·ME，所以②正确;∵∠BEA＝∠CDA，∴P，E，D，A四点共圆，∴∠APD＝∠AED＝90°，∵∠CAE＝180°－∠BAC－∠EAD＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴AC2＝CP·CM，∵AC＝2AB＝2CB，∴2CB2＝CP·CM，所以③正确．故选A．11．解：(1)证明：∵四边形EGHF为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC．(2)设正方形零件的边长为a，在正方形EFHG中，EF∥BC．∵AD⊥BC，∴AK⊥EF．∵△AEF∽△ABC，∴a120＝80－a80，解得a＝48，∴正方形零件的边长为48mm．(3)设EG＝x，矩形EGHF的面积为y，∵△AEF∽△ABC，∴EF120＝80－x80，∴EF＝32(80－x)，∴y＝32(80－x)·x＝-32(x－40)2＋2400，∴当x＝40时，y最大，且最大值为2400，∴矩形EGHF的最大面积为2400mm2．12．13 [解析]由折叠可知：DE＝1，HC＝EH，EM＝BC，9\n设EH＝HC＝x，则DH＝2－x，在Rt△DEH中，∵EH2＝DE2＋DH2，∴x2＝12＋(2－x)2，解得x＝54，DH＝2-54＝34，∵∠A＝∠NEH＝∠D＝90°，∴∠AEN＋∠DEH＝∠DEH＋∠EHD＝90°，∴∠AEN＝∠EHD，∴△NEA∽△EHD，∴ENAE＝EHDH，∴EN1＝5434，∴EN＝53，∴MN＝EM－EN＝BC－EN＝2-53＝13，故填13．13．[解析](1)利用等腰三角形的三线合一性质可以得到∠CAM＝∠BAM，AM⊥BC，由MN＝MB可得∠MNB＝∠MBN，再根据角的和差关系及外角性质即可证得．(2)利用(1)中的结论可证得AN＝DN，再依据平行四边形性质，等量代换可得BC＝AN，在Rt△AMB中用勾股定理可求得BM的长，即可求得BC的长．(3)根据中位线的性质及线段的比例关系可以证得FMBD＝NMBC，再依据中位线的平行关系和已知垂直关系，证明∠NMF＝∠CBD，从而证明△MFN∽△BDC．解：(1)证明：∵AB＝AC，M为BC中点，∴AM⊥BC，∠CAM＝∠BAM，又∵AC⊥BD，∴∠CAM＝∠CBE．即∠MAB＝∠CBE．∵MB＝MN，∴∠MNB＝∠MBN，∵∠MNB＝∠MAB＋∠NBA，∠MBN＝∠CBD＋∠DBN，∴∠DBN＝∠NBA，即BN平分∠ABE．(2)在△ABN与△DBN中，AB＝DB，∠ABN＝∠DBN，BN＝BN，∴△ABN≌△DBN，∴DN＝AN．∵四边形DNBC为平行四边形，∴BC＝DN，∴AN＝BC．在Rt△AMB中，设BM＝x，则MN＝x，AN＝2x，9\n则x2＋(3x)2＝12，解得：x＝1010(负值舍去)，∴BC＝105．(3)证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM＝12AC．∵AC＝BD，∴FM＝12BD，即FMBD＝12．∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM＝BM＝12BC，即NMBC＝12，∴FMBD＝NMBC．∵AM⊥BC，∴∠NMF＋∠FMB＝90°．∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB．∵∠CEB＝90°，∴∠ACB＋∠CBD＝90°．∴∠CBD＋∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD．∴△MFN∽△BDC．9
