易错点25空间角与空间距离一、单选题1.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB= °且PA=AC=BC= ，则异面直线PB与AC所成角的正切值为A. B. C. D.12.三棱柱 棱柱 棱 柱 中， 棱= ， 柱= ，柱柱 = ，∠ 棱=∠ 柱=ൌ °，∠棱 柱= ° 则异面直线 柱与棱柱 所成角的余弦值为 A.0B.C.D. 3.在正方体 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中，异面直线AC与棱 ܥ 所成的角是A. B. C.ൌ D. 4.在四面体 棱柱中，PA，PB，PC两两垂直，M是面ABC内一点，M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别是2，3，6，则M到P的距离是A.7B.8C.9D.10 5.在空间中，异面直线 空间所成的夹角为 ，且sin =，则cos = A.B. C.或 D. 6.在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱 棱柱 棱 柱 中，若 棱= 棱棱 ，则 棱 与柱 棱所成角的大小为A. °B. °C.ൌ °D. °7.在正方体 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中，E为棱柱 的中点，则异面直线DE与 棱 所成角的正切值为ൌൌ A.B.C.D. 8.已知 棱柱的三顶点坐标分别为 ሺ 空 空ൌെ，棱ሺ 空1， െ，柱ሺ 空4， െ，则 棱柱= A.B. C.D. \n二、单空题9.在正方体 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中，点M，N分别是 ，棱棱 的中点，则CM和ܥ 所成角的余弦值为________． 10.点S、A、B、C在半径为 的同一球面上，点S到平面ABC的距离为， 棱=棱柱=柱 = ， 则点S与 棱柱中心的距离为________．11.如图，在平行六面体 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中， 棱= ， ܥ= ， = ，∠棱 ܥ= °，∠棱 =∠ܥ =ൌ °，则 柱 =________．12.已知正四棱柱 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中， 棱= ， = ，点E为柱柱 的中点，则点ܥ 到平面BDE的距离为________．三、解答题13.如图，在正方体 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中E，F分别是AD， 中点．ሺ െ求直线 棱 和柱柱 所成角的大小；ሺ െ求直线 棱 和EF所成角的大小．\n14.如图，在四棱锥 棱柱ܥ中，四边形ABCD为平行四边形， 棱⊥ 柱， ⊥平面ABCD，且 = 棱= ， 柱= ，点E是PD的中点．ሺ െ求证： 棱：：平面AEC； ሺ െ在线段PB上ሺ不含端点െ是否存在一点M，使得二面角 柱 晦的余弦值为 若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由．15.如图所示的几何体中，棱晦⊥平面ABCD， ᦙ：：棱晦，四边形ABCD为菱形， 棱= ᦙ= ，点M，N分别在棱FD，ED上．ᦙ ሺ െ若棱ᦙ：：平面MAC，设= ，求 的值；ᦙܥ晦 ൌሺ െ若∠ 棱柱=ൌ °，=，直线BN与平面ABCD所成角的正切值为，求三棱锥棱 ܥ \n晦 ᦙ的体积．16.设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且 ⊥平面ABCD，若 = 棱= ，棱柱= ．ሺ െ求PC与平面PAD所成角的正切值；ሺ െ在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为 ，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；ሺ െ若点E是PD的中点，在 棱内确定一点H，使柱 +晦 的值最小，并求此时HB的值一、单选题1.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB= °且PA=AC=BC= ，则异面直线PB与AC所成角的正切值为A. B. C. D.1【答案】A【解析】解：观察图形，可以将该图看成是正方体的一部分，因此可以通过补形来求异面直线的夹角的正切值，将此多面体补成正方体ܥ棱柱 ܥ 棱 柱 ሺ如图所示െ，\n则PB与AC所成的角的大小即此正方体的体对角线PB与棱BD所成角的大小． ܥ 故在 ܥ棱中，tan∠ܥ棱 === ܥ棱 故选：A2.三棱柱 棱柱 棱 柱 中， 棱= ， 柱= ，柱柱 = ，∠ 棱=∠ 柱=ൌ °，∠棱 柱= ° 则异面直线 柱与棱柱 所成角的余弦值为 A.0B.C.D. 【答案】A【解析】解： 柱 = 柱 ，棱 柱 =棱 柱 +柱 柱 = 柱 棱 +柱 柱 柱 棱 柱 =ሺ 柱 െ ሺ 柱 棱 +柱 柱 െ=ሺ 柱 െ ሺ 柱 棱 + െ = 柱 柱 棱 + 柱 柱 + 棱 = + cos ൌ ° cos ൌ °+ cos ൌ ° = + = ， 柱 ⊥ 棱 柱 ，即异面直线 柱与棱柱 所成角为 °， cos °= ，故选A．3.在正方体 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中，异面直线AC与棱 ܥ 所成的角是A. B. C.ൌ D. 【答案】D【解析】解：在正方体 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中，棱 ܥ ：：棱ܥ， 柱⊥棱ܥ， 柱⊥棱 ܥ ， 异面直线棱 ܥ 与AC所成的角为 °，故选D．\n4.在四面体 棱柱中，PA，PB，PC两两垂直，M是面ABC内一点，M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别是2，3，6，则M到P的距离是A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】解：由于PA，PB，PC两两垂直，M是面ABC内一点，作出长方体如图，M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别是2，3，6，则M到P的距离，就是长方体的体对角线的长： + +ൌ = 故选A． 5.在空间中，异面直线 空间所成的夹角为 ，且sin =，则cos = A.B. C.或 D. 【答案】A【解析】解： 异面直线 空间所成的夹角为 ； sin =， ． cos = sin = 故选A．6.在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱 棱柱 棱 柱 中，若 棱= 棱棱 ，则 棱 与柱 棱所成角的大小为A. °B. °C.ൌ °D. °【答案】D【解析】解：如图，建立空间直角坐标系，\n ൌ设棱棱 = ，则 棱= ， ሺ 空 空 െ空棱ሺ空 空 െ空棱 ሺ空 空 െ空柱 ሺ 空空 െ， =ሺ 空 空 െ空棱 柱 =ሺ ൌ 棱 柱 = ，则 棱 空空 െ，故 棱 故AB 与棱柱 所成角为 °，故选D．7.在正方体 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中，E为棱柱 的中点，则异面直线DE与 棱 所成角的正切值为ൌൌ A.B.C.D. 【答案】C【解析】解：如图所示， ܥ柱：： 棱 ，ܥ柱⊥棱 C. ∠晦ܥ柱为异面直线DE与 棱 所成角． 晦柱 棱 柱 ． tan∠晦ܥ柱===ܥ柱ܥ柱 故选：C．8.已知 棱柱的三顶点坐标分别为 ሺ 空 空ൌെ，棱ሺ 空1， െ，柱ሺ 空4， െ，则 棱柱= A.B. C.D. 【答案】A【解析】解： 棱柱的三顶点坐标分别为 ሺ 空 空ൌെ，棱ሺ 空1， െ，柱ሺ 空4， െ，则 棱=ሺ െ +ሺ െ +ሺൌ െ = ，柱棱=ሺ െ +ሺ െ +ሺ െ = ，柱 =ሺ െ +ሺ + െ +ሺൌ െ = ，由于柱 =棱 +柱棱 ，所以三角形ABC为直角三角形， 所以 = =， 棱柱 \n故选A．二、单空题9.在正方体 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中，点M，N分别是 ，棱棱 的中点，则CM和ܥ 所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】解：取柱 柱的中点P，连接 ， ：：柱 ，且 =柱 ， 四边形 柱 是平行四边形， ：： 柱， ：： ：： ܥ =棱柱= ， 、ܥ 共面，设其交点为O，则∠ ܥ 是异面直线CM与ܥ 所成的角，设正方体的棱长为1， = 柱= 柱 + = +=，ܥ = =， ሺെ+ሺെ cos∠ ܥ = =， 即直线CM与ܥ 所成角的余弦值是． 故答案为． 10.点S、A、B、C在半径为 的同一球面上，点S到平面ABC的距离为， 棱=棱柱=柱 = ， 则点S与 棱柱中心的距离为________．\n【答案】 【解析】解：如图， 点S、A、B、C在半径为 的同一球面上， 点S到平面ABC的距离为， 棱=棱柱=柱 = ， 设 棱柱的外接圆的圆心为M，过S作 ܥ⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E， 半径 = 柱= = ， = 柱 柱 = = ， ܥ⊥ 柱， 晦⊥ 柱， 晦 ܥ是矩形， 晦= ܥ=， ， ܥ= 晦= 晦= = + ܥ + = ܥ== ． 故答案为 ．11.如图，在平行六面体 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中， 棱= ， ܥ= ， = ，∠棱 ܥ= °，∠棱 =∠ܥ =ൌ °，则 柱 =________．【答案】 【解析】解：由题意，如图所示，作 ⊥底面于O，作OE垂直AB于E，OF垂直AD于F，连接 ᦙ， 晦，由于，∠棱 =∠ܥ =ൌ °， ᦙ ≌ 晦 ， ᦙ= 晦 有 ᦙ ≌ 晦 ， ᦙ= 晦，\n由作图知，O在角DAB的角平分线上，又 底面是矩形， ∠ܥ =∠棱 = °，又 棱= ， ܥ= ， = ，∠棱 =∠ܥ =ൌ °， ᦙ= 晦=， 晦= ᦙ= ， =， 在直角三角形 中，解得 =， 在图中作柱 垂直底面于H，作HR垂直DC延长线与R，由几何体的性质知， =柱 =， =柱 =， 连接AH，得如图的直角三角形ASH，直角三角形 柱 ， 由已知及上求解得 =， =， 柱 = +柱 = + +柱 + + = ， == 柱 = 故答案为 ．12.已知正四棱柱 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中， 棱= ， = ，点E为柱柱 的中点，则点ܥ 到平面BDE的距离为________． 【答案】 【解析】解：易知棱ܥ：：棱 ܥ ，又BD在平面BDE内，棱 ܥ 不在平面BDE内， 棱 ܥ ：：平面BDE，则点ܥ 到平面BDE的距离等于点棱 到平面BDE的距离，设为h． 棱ܥ晦中，棱ܥ=ܥ晦=晦棱= ， 棱ܥ晦=， 由 棱 棱ܥ晦= ܥ 棱棱 晦，可得 = ， =． 故答案为：． 三、解答题13.如图，在正方体 棱柱ܥ 棱 柱 ܥ 中E，F分别是AD， 中点．\nሺ െ求直线 棱 和柱柱 所成角的大小；ሺ െ求直线 棱 和EF所成角的大小．【答案】解：ሺ െ如图，连接ܥ柱 ， ܥ柱 ：： 棱 ， ܥ柱 和柱柱 所成的锐角∠柱柱 ܥ就是 棱 和柱柱 所成的角． ∠柱柱 ܥ= °， 棱 和柱柱 所成的角是 °．ሺ െ连接ܥ 、 柱 ， 晦ᦙ ：： ܥ， 棱 ：： ：ܥ柱 ， ∠ ܥ柱 是直线 棱 和EF所成的角． ܥ柱 是等边三角形， ∠ ܥ柱 =ൌ °，即直线 棱 和EF所成的角是ൌ °．14.如图，在四棱锥 棱柱ܥ中，四边形ABCD为平行四边形， 棱⊥ 柱， ⊥平面ABCD，且 = 棱= ， 柱= ，点E是PD的中点．\nሺ െ求证： 棱：：平面AEC； ሺ െ在线段PB上ሺ不含端点െ是否存在一点M，使得二面角 柱 晦的余弦值为 若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】ሺ െ证明：连接BD交AC于点O，连接OE，显然O为BD的中点，又 点E是PD的中点． 晦为三角形PBD的中位线， 晦：： 棱，又 晦 平面AEC， 棱 平面AEC，所以 棱：：平面AEC；ሺ െ由已知以A为原点，分别以AC，AB和AP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系 ݔ ， 则有 ሺ 空0， െ，棱ሺ 空3， െ，柱ሺ 空0， െ，晦ሺ 空 空െ， 假设在PB上存在点 ሺ 空a， െ， ， 则 柱 =ሺ 空0， െ， 晦 =ሺ 空 空െ， =ሺ 空a， െ， 设平面ACE的法向量为 =ሺ 空ݔ 空 െ， = 则 ，可取 =ሺ 空1， െ， ݔ + = 设平面ACM的法向量为 =ሺ 空ݔ 空 െ， = 则，可取 =ሺ 空 空 െ， ݔ + = 由二面角 柱 晦的余弦值为， + 可得==， ൌ + 解得 = 或2，由于二面角 柱 晦的余弦值为正，故舍去 = ，\n即 = ， 存在一点M，使得二面角 柱 晦的余弦值为， 该点为PB上靠近P点的三等分点．15.如图所示的几何体中，棱晦⊥平面ABCD， ᦙ：：棱晦，四边形ABCD为菱形， 棱= ᦙ= ，点M，N分别在棱FD，ED上．ᦙ ሺ െ若棱ᦙ：：平面MAC，设= ，求 的值；ᦙܥ晦 ൌሺ െ若∠ 棱柱=ൌ °，=，直线BN与平面ABCD所成角的正切值为，求三棱锥棱 ܥ 晦 ᦙ的体积．【答案】解：ሺ െ连接AC，BD，设 柱 棱ܥ= ，因为四边形ABCD为菱形，所以P为AC与BD的中点，连接MP，因为棱ᦙ：：平面MAC，棱ᦙ 平面BFD，且平面棱ᦙܥ 平面 柱= ，所以棱ᦙ：： ，因为P为BD的中点，所以M为FD的中点，ᦙ 即= ᦙܥ ሺ െ因为∠ 棱柱=ൌ ，四边形ABCD为菱形， 棱=柱棱= ，所以棱ܥ= ，\n过N作 㜲：：棱晦，且 㜲 棱ܥ=㜲，晦 因为=， ܥ 所以棱㜲=， 设棱晦= ， 则 㜲= ， ൌ因为直线BN与平面ABCD所成角的正切值为tan∠ 棱㜲==， 所以 = ，所以三角形ABD的面积 = 梯形 棱晦ᦙ 棱ᦙ= ， 而点N到平面BEF的距离即点G到平面BEF的距离为 =， ൌ由 棱 晦 ᦙ= 棱晦ᦙ= =， ൌ所以三棱锥棱 晦 ᦙ的体积为 16.设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且 ⊥平面ABCD，若 = 棱= ，棱柱= ．ሺ െ求PC与平面PAD所成角的正切值；ሺ െ在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为 ，若存在，求出BG\n的值，若不存在，请说明理由；ሺ െ若点E是PD的中点，在 棱内确定一点H，使柱 +晦 的值最小，并求此时HB的值．【答案】解：ሺ െ因为平面，柱ܥ 平面，所以，又因为底面是矩形，所以，又 ܥ= ， 空 ܥ 平面APD，所以平面，所以与平面所成角为， 又由题意可得：，，所以tan∠柱 ܥ=． 所以与平面所成角的正切值为． ሺ െ假设边上存在一点G满足题设条件，作，又 ⊥平面ABCD，所以 ⊥ܥ ，因为 㜲 = ，所以平面，所以． 因为 㜲ܥ= = 㜲 ， 所以 㜲= ，所以棱㜲= ，故存在点G，当时，使点D到平面的距离为．ሺ െ延长CB到，使，\n因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，因为 棱= ，所以平面，则柱 是点C关于面的对称点，连接柱 晦，交面于H，则点H是使的值最小时，在面上的一点．作于M，则点M是AD的中点，连接交AB于N，连接HN，则，所以，又，所以，而，\n所以．所以．
