第七章立体几何\n第五讲 空间向量及其运算\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 空间向量的有关概念1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，其大小叫做向量的______或____.(2)相等向量：方向______且模______的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线______或______，则这些向量叫做__________或__________.(4)共面向量：平行于同一______的向量叫做共面向量．大小方向长度模相同相等平行重合共线向量平行向量平面\n2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．\n〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直|a||b|cos〈a，b〉\n(2)空间向量数量积的运算律结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；交换律：a·b＝b·a；分配律：a·(b＋c)＝____________.a·b＋a·c\na1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0\n\n√×××√×\nD\n\nA\n\n\nC\n\n\n\n\n考点突破·互动探究\n例1ABC考点一空间向量的线性运算——自主练透\n\n\n\n\n(1)用基向量表示指定向量的方法用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．(2)向量加法的多边形法则首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．MINGSHIDIANBO\nA\n\n例2考点二空间向量共线、共面定理的应用——师生共研\n\n\nMINGSHIDIANBO\n\n\n\n例3B考点三空间向量的坐标运算——师生共研\n\n\n空间向量的坐标运算与平面向量坐标运算类似，可对比应用．利用空间向量的坐标运算解题是高考立体几何大题的必考内容，而寻求三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系是解题的突破口．MINGSHIDIANBO\nA\nD\n\n名师讲坛·素养提升\n例4ACD\nD\n\n\n\n\n\n(2)如图建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,2)\n\n\n(3)\nMINGSHIDIANBO\n〔变式训练4〕(1)(多选题)(2021·辽宁抚顺模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1D1，BC，C1D1的中点，则下列结论正确的是()A．FG⊥平面AB1CB．EF⊥平面AB1C1DC．FG∥平面BB1D1DD．EG∥平面ACD1BCD\nA\n\n\n\n\n
