第五章平面向量与复数\n第一讲 平面向量的概念及其线性运算\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 向量的有关概念(1)向量：既有______又有______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的______(或称____)．(2)零向量：_________的向量叫做零向量，其方向是______的，零向量记作___.(3)单位向量：长度等于___个单位的向量．大小方向长度模长度为0任意01\n(4)平行向量：方向相同或______的______向量；平行向量又叫______向量．规定：0与任一向量______.(5)相等向量：长度______且方向______的向量．(6)相反向量：长度______且方向______的向量．相反非零共线平行相等相同相等相反\n知识点二 向量的线性运算三角形平行四边形b＋aa＋(b＋c)\n相反向量三角形\n向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘实数λ与向量a的积是一个______记作λa(1)模：|λa|＝|λ||a|；(2)方向：当λ>0时，λa与a的方向______；当λ<0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝0设λ，μ是实数．(1)_________＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝________(3)λ(a＋b)＝________.向量相同相反λ(μa)λa＋μaλa＋λb\n知识点三 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使_______.b＝λa\n\n\n×××√\nB\n3．(必修2P15T3改编)向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2[解析]由图可知a＝－4e2，b＝－(e1＋e2)，∴a－b＝e1－3e2，故选C．C\nC\nA\n6．(2015·新课标2,13,5分)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____.\n考点突破·互动探究\n例1BC考点一向量的基本概念——自主练透\nD\n\n\nMINGSHIDIANBO\n角度1向量加、减法的几何意义设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|例2考点二向量的线性运算——多维探究A\n\n例3D\n\n\nC例4\n\n平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)考查向量加法或减法的几何意义．(2)求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．(3)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．(4)与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．MINGSHIDIANBO\n〔变式训练1〕(1)(角度1)(2022·湖北宜昌一中月考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λbD\nD\nD\n\n例5考点三共线向量定理及其应用——师生共研\n\n\n[引申]本例(2)中，若ka＋b与a＋kb反向，则k＝_____；若ka＋b与a＋kb同向，则k＝___.[解析]由本例可知ka＋b与a＋kb反向时λ<0，从而k＝－1；ka＋b与a＋kb同向时λ>0，从而k＝1.－11\n平面向量共线的判定方法(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．MINGSHIDIANBO\nB\n(2)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于()A．aB．bC．cD．0D\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例6D\n\n在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．MINGSHIDIANBO\nD\n
