第七章立体几何\n第六讲 空间向量的应用\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 两个重要的向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有______个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有______个，它们是共线向量．无数无数\n\n知识点三 两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝_______(其中φ为异面直线a，b所成的角)．\n知识点四 直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝____.\n知识点五 求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝____________.\n\n\n\n\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面a平行．()××√×××\n题组二 走进教材2．(选择性必修1P20例2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM所成的角是______.垂直\n\n3．(选择性必修1P44T13)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，则点D1到平面AEC1的距离为____，AD1与平面AEC1所成角的余弦值为____.\n\n\n题组三 走向高考4．(2021·天津高考节选)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．\n\n\n\n\n5．(2019·浙江)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．\n[解析]解法一：(1)证明：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC，又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．\n又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC．(2)取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由(1)得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．\n\n解法二：(1)证明：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC．如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz.\n\n\n\n考点突破·互动探究\n(2020·山东青岛胶州实验学校期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点．(1)求证：PA⊥BD；(2)在线段AB上是否存在一点G，使得直线BC∥平面PEG？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．例1考点一利用向量证明空间的平行与垂直——自主练透\n[解析]取BA的中点H，连EH，在梯形ABCD中，由题意易知EH⊥AD，∵PA＝PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EH，PE⊥AD，∴AE、EH、EP两两垂直，\n\n\n\n(1)建立空间直角坐标系时尽可能地利用图形中的垂直关系，要准确写出相关点的坐标，进而确定向量的坐标．(2)用向量法证平行问题的类型及常用方法MINGSHIDIANBO线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示面面平行①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)②转化为线面平行、线线平行问题\n(3)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直\n〔变式训练1〕如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．\n(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD．\n\n\n\n例2B考点二利用向量求空间的角——多维探究\n\n\n\n[引申]本例中，若M，N分别为BC，AD的中点，则AM与CN所成角的余弦值为________.\nMINGSHIDIANBO\n例3\n\n\n\n\n\n\n\n\nMINGSHIDIANBO\n2．利用空间向量解答立体几何问题的步骤(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为0列出方程组，求出法向量；(4)将空间位置关系转化为向量关系；(5)根据定理结论求出相应的角．\n\n角度3向量法求二面角(2021·全国高考)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.例4(1)求BC；(2)求二面角A－PM－B的正弦值．\n[解析](1)解法一(坐标向量法)：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC．在矩形ABCD中，AD⊥DC，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，\n\n\n\n\n\n\n\n利用向量法确定二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．MINGSHIDIANBO\n\n\n①求证：平面PBC⊥平面PAB；②若二面角P－BC－A的大小为45°，过点A作AN⊥PC于N，求直线AN与平面PBC所成角的大小．(3)(角度3)(2019·课标Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．①证明：MN∥平面C1DE；②求二面角A－MA1－N的正弦值．\n[解析](1)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，\n\n\n\n\n\n\n\n证法二：∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，连BD．则△BCD为正三角形，又E为BC的中点，∴DE⊥BC，又DD1⊥平面ABCD，∴DA、DE、DD1两两垂直，如图建立空间直角坐标系，\n\n\n\n\n\n\n例5考点三利用向量求空间的距离——师生共研\n[解析](1)∵AB⊥平面BCD，CF⊂平面BCD，∴CF⊥AB，又BC＝CD，F为BD的中点，∴CF⊥BD．又AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CF⊥平面ABD．\n\n\nMINGSHIDIANBO\n\n\n(2)因为平面A1ACC1⊥平面ABC，交线是AC，且C1M⊥AC，所以C1M⊥平面ABC．以M为原点，MB，MC，MC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：\n\n名师讲坛·素养提升\n例6\n\n\n\n\n\n(此处为更换后新内容)(1)解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在．(2)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探索性问题转化为方程是否有解的问题进行处理．MINGSHIDIANBO\n(此处为更该前内容，新内容见上)对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．\n〔变式训练4〕(2022·福建龙岩质检)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝1，PD＝AD＝2DC＝2，∠PDA＝60°，且平面PAD⊥平面ABCD．\n\n[解析](1)过点P在平面PAD内作PO⊥AD，垂足为O，连接BO、OC，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD，∵∠PDA＝60°，PD＝DA＝2，∴△PDA是等边三角形，∴OD＝1＝BC，∵OD∥BC，∠BCD＝90°，∴四边形OBCD是正方形，∴BD⊥OC，∵OC∩PO＝O，∴BD⊥平面POC，∵PC⊂平面POC，∴BD⊥PC．\n(2)∵PO⊥平面ABCD，OB⊥AD，如图，建立空间直角坐标系O－xyz，\n\n
