第6讲空间向量及其运算1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )A．－2 B．－C.D．2解析：选D.由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直解析：选B.由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，所以＝－3，所以与共线，又与没有公共点．所以AB∥CD.3．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( )A.B．9C.D.解析：选D.由题意知存在实数x，y使得c＝xa＋yb，即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)，由此得方程组解得x＝，y＝，所以λ＝－＝.4．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝( )A．－1B．0C．1D．不确定解析：选B.如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.5.6\n如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为( )A．(1，1，1)B.C.D．(1，1，2)解析：选A.设P(0，0，z)，依题意知A(2，0，0)，B(2，2，0)，则E，于是＝(0，0，z)，＝，cos〈，〉＝＝＝.解得z＝±2，由题图知z＝2，故E(1，1，1)．6．(2022·唐山统考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝1，N为B1B的中点，则||为( )A.aB.aC.aD.a解析：选A.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，因为点M在AC1上且＝，6\n所以(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，所以x＝a，y＝，z＝.所以M，所以||＝ ＝a.7．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，点Q在平面yOz上，则垂足Q的坐标为________． 解析：由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，，)．答案：(0，，)8．在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为__________．解析：由题意知＝(6，－2，－3)，＝(x－4，3，－6)．又·＝0，||＝||，可得x＝2.答案：29．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．解析：由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又因为a·c＝4，所以b·c＝－18，所以cos〈b，c〉＝＝＝－，所以〈b，c〉＝120°，所以两直线的夹角为60°.答案：60°10．已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a、b、c表示向量＝________． 解析：如图所示，＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)．答案：(b＋c－a)11．(2022·郑州模拟)已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c.求：(1)a，b，c；(2)a＋c与b＋c所成角的余弦值．解：(1)因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，6\n－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．(2)a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，因此a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝＝－.故a＋c与b＋c所成角的余弦值为－.12.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.解：(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.(2)因为N是BC的中点，所以＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.(3)因为M是AA1的中点，所以＝＋＝＋＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.又＝＋＝＋＝＋＝c＋a.所以＋＝＋＝a＋b＋c.1．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；6\n②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若＝x＋y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4解析：选B.①正确，②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立．③正确．④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确．2．已知点A(1，2，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若＝2，则||的值是________．解析：设P(x，y，z)，所以＝(x－1，y－2，z－1)，＝(－1－x，3－y，4－z)，由＝2，得点P坐标为，又D(1，1，1)，所以||＝.答案：3．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．解：(1)由题意可得：＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，所以cos〈，〉＝＝＝＝.所以sin〈，〉＝，所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.(2)设a＝(x，y，z)，由题意得解得或所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．4.6\n如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.解：(1)E(a，x，0)，F(a－x，a，0)．(2)证明：因为A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，所以＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，所以·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，所以⊥，所以A1F⊥C1E.(3)证明：因为A1，E，F，C1四点共面，所以，，共面．选与为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，所以，解得λ1＝，λ2＝1.于是＝＋.6
