第6讲 空间向量及其运算分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c，共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是( )． A．0B．1C．2D．3解析 a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案 A2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝( )．A．－4B．－2C．4D．2解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.答案 D3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－7\nb可构成空间向量的一组基底．答案 C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( )．A．0B.C.D.解析 设＝a，＝b，＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．(填序号)①＝2－－；②＝＋＋；③＋＋＝0；④＋＋＋＝0；解析 ∵＋＋＝0，∴＝－－，则、、为共面向量，即M、A、B、C四点共面．答案 ③6.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.解析 如图，设＝a，＝b，＝c，·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0.答案 07\n三、解答题(共25分)7．(12分)已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面．证明 令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1，e2不共线，∴.易知是其中一组解，则－5＋＋＝0.∴A、B、C、D共面．8．(13分)如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1)试证：A1、G、C三点共线；(2)试证：A1C⊥平面BC1D；(3)求点C到平面BC1D的距离．(1)证明 ＝＋＋＝＋＋，可以证明：＝(＋＋)＝，∴∥，即A1、G、C三点共线．(2)证明 设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴⊥，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.(3)解 ∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，即||＝a，因此||＝a.即C到平面BC1D的距离为a.分层B级 创新能力提升1．(2022·海淀月考)以下四个命题中正确的是( )． A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底7\nC．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案 B2．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )．A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c解析 ＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.答案 A3．已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为________．解析 设＝a，＝b，＝c，由已知条件|a|＝8，|b|＝4，|c|＝6，〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝60°||2＝|＋＋|2＝|－c＋b＋a|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝68，则||＝2.答案 2cm7\n4．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．解析 设＝a，＝b，＝c.OA与BC所成的角为θ，·＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋)－a·(a＋)＝a2＋a·－a2－a·＝24－16.∴cosθ＝＝＝.答案 5．如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．解 (1)记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝，即AC1的长为.7\n(2)＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈，〉＝＝.∴AC与BD1夹角的余弦值为.6．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．解 设＝a，＝b，＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，·＝·(－a)＝a2－a·c＝，(2)·＝(c－a)·(b－c)＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c，||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cos〈，〉＝＝－，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，7\n所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.7
