第49讲 空间向量的概念及运算 1.如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则(＋＋＋)化简的结果为( )A.B.C.D. 2.以下四个命题中正确的是( )A．若＝＋，则P、A、B三点共线B．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底C．|(a·b)·c|＝|a||b||c|D．△ABC为等腰直角三角形的充要条件是·＝0 3.(原创题)已知A(3，－2，1)，B(4，－5，3)，则与向量平行的一个向量的坐标是( )A．(，1，1)B．(－1，－3，2)C．(－，，－1)D．(，－3，－2) 4.(原创题)如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为__________________． 5.已知A(－1，－2，6)，B(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量与夹角是________． 6.若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______． 7.已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)．6\n 8.对于空间任意一点O，若＝＋＋，则A、B、C、P四点( )A．一定共面B．一定不共面C．不一定共面D．无法判断 9.在以下命题中，不正确的命题为__________．①已知A，B，C，D是空间任意四点，且＋＋＋＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若a与b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．10.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，AA1＝3，AB＝AD＝2.(1)求证：AA1⊥BD；(2)求||；(3)求cos〈，〉．6\n6\n6\n第49讲1．C 2.B 3.C 4.(1，，1) 5.180° 6.27．解析：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)．若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为(－，－，)．8．A 解析：因为－＝(－)＋(－)．所以＝＋，故P点位于平面ABC内，即A、B、C、P四点一定共面．9．②③④10．解析：(1)证明：因为·＝·(－)＝·－·＝3×2×cos60°－3×2×cos60°＝0，所以⊥，即AA1⊥BD.(2)||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2· ＋2·＋2·＝4＋4＋9＋2×2×2cos60°＋2×2×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝33，所以||＝.(3)在△A1AB中，由余弦定理，得A1B2＝9＋4－2×2×3×cos60°＝7，即A1B＝.又＝－，所以·＝·(－)＝·－·＝2×2×cos60°－2×3×cos60°＝－1.所以cos〈，〉＝＝＝－.6\n6
