7.5空间向量及其运算第七章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标.探索并得出空间两点间的距离公式.3.了解空间向量的概念.4.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.5.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.6.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.7.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.8.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.\n备考指导本节内容是在平面向量基础上的推广与扩充,复习时要类比平面向量的相关概念、定理、公式、运算律等,比较它们之间的异同.本节知识对数学抽象核心素养体现较多,是基础性和工具性的内容,难度不大.重点是理解和记忆定理、公式等,能准确进行空间向量的运算以及应用空间向量解决平行、垂直和夹角等问题.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.空间向量的相关概念(1)定义在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.\n(2)特殊的空间向量\n2.空间向量的线性运算(1)加法与减法运算\n(2)数乘运算定义:实数λ与空间向量a的积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.当λ>0时,λa与向量a方向相同;当λ<0时,λa与向量a方向相反;当λ=0时,λa=0;λa的长度是a的长度的|λ|倍,即|λa|=|λ||a|.(3)运算律①交换律:a+b=b+a;②结合律:a+(b+c)=(a+b)+c;③分配律:λ(a+b)=λa+λb;λ(μa)=(λμ)a.\n3.空间向量的基本定理(1)共线向量定理①定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.\n温馨提示1.定理中规定b≠0,这是因为:(1)在充分性中,当b=0,λ≠0时,也有a=λb=0,而零向量与任一向量共线,λ并不唯一;(2)在必要性中,当a≠0,b=0时,不存在实数λ,使a=λb.\n(2)共面向量定理①定义:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.②共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底,其中a,b,c都叫做基向量.\n4.空间向量的数量积运算(1)空间两向量的夹角②夹角的范围:空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0,π].特别地,当θ=0时,两向量同向共线;当θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或π.\n(2)空间两向量的数量积运算①定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cos<a,b>.特别地,零向量与任意向量的数量积为0.②运算律结合律:(λa)·b=λ(a·b);交换律:a·b=b·a;分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.\n(3)空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).\n\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b共线”的充要条件.()(2)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.()(3)对于空间非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0.()(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.()(5)非零向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c).()××√××\n2.已知x,y∈R,有下列说法:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.4B①正确.②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb不成立.③正确.④中若点M,A,B共线,点P不在此直线上,则不成立.\n3.如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为.\n4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则直线AM和CN所成角的余弦值为.\n5.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.\n\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1空间向量的线性运算例1如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:\n\n解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本方法.解题时应结合已知和所求观察图形,灵活运用相关的运算法则和公式来表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.\n对点训练1如图,在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量\n能力形成点2共线定理、共面定理的应用例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD∥平面EFGH.\n\n\n对点训练2\n\n能力形成点3空间向量的数量积及其应用例3在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.(1)求CE的长;(2)求证:EF⊥CF;\n\n\n(方法二:坐标法)\n\n解题心得1.证明垂直问题利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将向量的垂直问题转化为向量数量积的计算问题,主要有两种方法:(1)先把两个向量用同一组基底表示出来,再计算它们的数量积.选择基向量时要尽量选择已知长度和夹角的向量作为基向量.(2)建立适当的空间直角坐标系,利用向量数量积的坐标运算直接计算验证.2.求夹角(1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角的定义来求,但要注意向量夹角的取值范围.(2)先求出两个向量的数量积a·b,再利用公式求cos<a,b>,最后确定<a,b>.\n\n对点训练3(1)如图,已知线段AB⊥平面α,BC⊂α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,点D与点A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,则A,D两点间的距离为.\n(2)如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为棱AB,BB'的中点.①求证:CE⊥A'D;②求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.\n\n(方法二:坐标法)∵CC'⊥平面ABC,且CA⊥CB,∴以点C为原点,分别以CA,CB,CC'所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).令AC=BC=AA'=2,则点A(2,0,0),C'(0,0,2),A'(2,0,2),E(0,2,1),D(1,1,0).\n第三环节 学科素养提升\n方程思想与分类讨论思想在空间向量中的应用典例已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x+y的值为.答案:4\n\n解题心得已知向量平行或垂直求参数,一般要根据向量平行或垂直的坐标表示建立参数的方程或方程组,进而求出参数值或取值范围.
