8.6空间向量及其运算\n-2-知识梳理双基自测234151.空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有和的量叫做空间向量,其大小叫做向量的或.(2)相等向量:方向且模的向量.(3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线或,则这些向量叫做或,a平行于b记作a∥b.(4)共面向量:平行于同一的向量叫做共面向量.大小方向长度模相同相等平行重合共线向量平行向量平面\n-3-知识梳理双基自测234152.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb.(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底.\n-4-知识梳理双基自测234153.两个向量的数量积(1)两个向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作,其范围是,若<a,b>=,则向量a,b,记作a⊥b.(2)两个向量的数量积已知两个非零向量a,b,则叫做向量a,b的数量积,记作,即a·b=.<a,b>0≤<a,b>≤π互相垂直|a||b|cos<a,b>a·b|a||b|cos<a,b>\n-5-知识梳理双基自测234154.空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0\n-6-知识梳理双基自测23415(3)向量的数量积满足交换律和分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.\n2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b共线”的充要条件.()(2)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若(3)对于空间非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0.()(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.()(5)非零向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c).()××√××\n-8-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测234153.如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测234154.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则直线AM和CN所成角的余弦值为.答案答案关闭\n-11-知识梳理双基自测23415解析以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,则点A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),\n-12-知识梳理双基自测234155.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.\n-13-知识梳理双基自测23415\n-14-知识梳理双基自测23415\n-15-考点1考点2考点3思考如何利用空间向量的线性运算表示所需向量?\n-16-考点1考点2考点3\n-17-考点1考点2考点3解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.\n-18-考点1考点2考点3\n-19-考点1考点2考点3例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD∥平面EFGH.思考共线定理、共面定理有哪些应用?\n-20-考点1考点2考点3\n-21-考点1考点2考点3\n-22-考点1考点2考点3对点训练2如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?\n-23-考点1考点2考点3\n-24-考点1考点2考点3例3如图,在▱ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD所成的角为60°,求BD的长.思考如何利用空间向量的数量积求长度?\n-25-考点1考点2考点3\n-26-考点1考点2考点3\n-27-考点1考点2考点3对点训练3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,\n-28-考点1考点2考点3解：(1)∵M是PC的中点,
