活页作业 空间向量及其运算(理)一、选择题1．有以下命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底，其中正确的命题是( )A．①② B．①③C．②③ D．①②③解析：对于①，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确．答案：C2.如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则(＋＋)化简的结果为( )A. B.C. D.解析：(＋＋)＝(＋)＝＝·2＝.答案：C3．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则用a，b、c表示的结果为( )A.a＋b＋c B.a＋b－cC.a＋b＋c D.a－b＋c解析：如图，＝＋6\n＝＋×(＋)＝＋×(－＋－)＝＋＋＝a＋b＋c.答案：A4．(2022·咸阳模拟)已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)则向量a＋b与a－b的夹角是( )A．0° B．30° C．60° D．90°5.二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为( )A．2a B.a C．a D.a6．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于( )A．5 B. 6\nC．4 D．2解析：设＝λ，D(x，y，z)．则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0，4，－3)．∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，∴＝(－4，4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－，∴＝，∴||＝＝5.答案：A二、填空题7．已知向量b与向量a＝(2，－1，2)共线，且满足a·b＝18，(ka＋b)⊥(ka－b)，则b＝________，k＝________．8．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当·最小时，点Q的坐标是________．解析：设＝λ＝(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)(3－2λ)(2－2λ)6\n＝6λ2－16λ＋10＝6－.∴当λ＝时，·取得最小值－，此时＝.∴点Q的坐标是.答案：三、解答题9．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)10.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．解：方法一：(1)证明：设＝a，＝b，CC′＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，6\n∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0.∴⊥，∴CE⊥A′D.(2)解：由条件得＝－a＋c，∴||＝|a|，6\n6
