山东省2022届高三高考模拟卷（一）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．把复数的共轭复数记作，为虚数单位，若，则A．B．C．D．42．已知集合，集合，则A．B．C．D．3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校A专业对视力的要求在0．9以上，则该班学生中能报A专业的人数为A．10B．20C．8D．164．下列说法正确的是A．函数在其定义域上是减函数B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件17C．命题“，”的否定是“，”D．给定命题，若是真命题，则是假命题5．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则下列说法中正确的是A．函数是奇函数，最小值是B．函数是偶函数，最小值是C．函数是奇函数，最小值是D．函数是偶函数，最小值是6．已知点满足过点P的直线与圆相交于A，B两点，则AB的最小值为A．2B．C．D．47．一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出，的值分别为17A．5，1B．30，3C．15．3D．30．69．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其焦距的，则该双曲线的渐近线方程是A．B．C．D．10．我们定义若函数为D上的凹函数须满足以下两条规则：(1)函数在区间D上的任何取值有意义；(2)对于区间D上的任意个值，总满足，那么下列四个图象中在上满足凹函数定义的是11．若，则A．B．C．D．12．已知为互不相等的三个正实数，函数可能满足如下性质：17①为奇函数；②为奇函数；③为偶函数；④为偶函数；⑤．类比函数的对称中心、对称轴与周期的关系，某同学得到了如下结论：(i)若满足①②，则的一个周期为；(ii)若满足①③；则的一个周期为；(iii)若满足③④，则的一个周期为；(iv)若满足②⑤；则的一个周期为．其中正确结论的个数为()．A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．已知向量，，且满足，则实数_______．14．对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．1715．由直线，曲线以及轴围成的封闭图形的面积为________．16．如图放置的边长为2的正方形PABC沿轴滚动．设顶点的轨迹方程是，则在其两个相邻零点间的图象与轴所围成的区域的面积为______．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．(本小题满分12分)在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知，．(1)求cosC的值；(2)若BC=10，D为AB的中点，求CD的长．18．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．(1)求证：EF⊥平面DCE；(2)当AB的长为何值时，二面角的平面角的大小为．19．(本小题满分12分)为迎接2022年“两会”（全国人大3月5日-3月18日、全国政协3月3日-3月14日）的胜利召开，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金元，正确回答问题B可获奖金元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．20．(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且满足，数列17为等差数列，且，．(1)求数列与的通项公式；(2)若，，求的值．21．(本小题满分13分)已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设P(4，0)，A，B是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与轴相交于定点Q；(3)在(2)的条件下，设过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．22．(本小题满分13分)已知函数，的图象过点，且在点处的切线与直线垂直．(1)求实数的值；(2)求在为自然对数的底数）上的最大值；(3)对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？山东省2022届高三高考模拟卷（一）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A【解析】由得．2．D【解析】由题意得集合或，故17，又集合，所以．3．B【解析】该班学生视力在0．9以上的频率为，故该班50名学生中能报A专业的人数为．4．D【解析】由减函数的定义易知在其定义域上不是减函数，A错；两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件，B错；命题“，”的否定是“，”，C错；由是真命题可知和都是真命题，故一定是假命题，D正确，选D．5．C【解析】由题易得，将的图象向左平移个单位后，得的图象，易知为奇函数，最小值为，故选C．6．D【解析】当P点同时满足(1)P为AB的中点；(2)P点到D点的距离最大时，AB取得最小值．P点的可行域如图所示，因为直线和直线垂直，故P点的坐标是(1，3)时，OP最大．易知此时AB=4，故选D．7．B【解析】结合三视图可知该几何体是一个圆台，其上，下底面的半径分别为2，1，其直观图如图所示．则该几何的侧面积．8．D【解析】执行程序框图可知，当时，；当时，；…；当时，，即能被整除，退出循环，输出的值分别为30，6．9．C【解析】由双曲线的对称性可取其一个焦点17和一条渐近线，则该点到该渐近线的距离为，而，因此，，所以，因此双曲线的渐近线方程为．10．A【解析】要判断是不是凹函数，需要先明确凹函数的定义，由定义的第一点可以排除D，在A、B、C这三个选项中可以考虑特值法，取，，则显然选项B、C不满足，故选A．11．B【解析】令得①，令得②，由①②联立，可得，，从而．12．B【解析】由的图象知，两相邻对称中心的距离为两相邻对称轴的距离为，对称中心与距其最近的对称轴的距离为，若满足①②，则的两个相邻对称中心分别为，，从而有，即；若满足①③，则的对称轴为，与对称轴相邻的对称中心为，有，即；若满足③④，则的两个相邻的对称轴为和，从而有，即；若满足②⑤，则的对称中心为17，与其相邻的对称轴为，从而有，即．故只有(iii)(iv)错误．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．【解析】由，，得，，因为，所以，即，解得．14．【解析】当时，；当时，原不等式变形可得，因为(当且仅当时，等号成立)，所以，即的最大值是，所以．15．【解析】由，解得直线和曲线的交点坐标是(1，1)，结合图形可知，由直线，曲线以及轴围成的封闭图形的面积为．16．4【解析】由于本题是求两个相邻零点问的图象与轴所围成的区域的面积，所以为了简便，可以直接将P点移到原点，开始运动，如图所示，当P点第一次回到轴时经过的曲线是三段相连的圆弧，它与轴围成的区域面积为．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．【解析】(1)因为，且，，则17．(2)由(1)可得．由正弦定理得，即，解得AB=14．因为在△BCD中，，，所以．18．【解析】(1)由题易知在△BCE中，，BE=3，所以，又在△FCE中，，所以EF⊥CE，因为平面ABCD⊥平面EFCB，DC⊥BC，所以DC⊥平面EFCB，又EF平面EFCB，所以DC⊥EE，又DCEC=C，所以EF⊥平面DCE．(2)法一过点B作BH⊥EF交FE的延长线于点H，连接AH．由平面ABCD⊥平面BEFC，又平面ABCD平面BEFC=BC，AB⊥BC，所以AB⊥平面BEFC，从而AB⊥EF，又因为BH⊥EF，BHAB=B，所以EF⊥平面ABH．又AH平面ABH，所以EF⊥AH，所以∠AHB为二面角的平面角．在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4，所以∠CFE=，因为BE∥CF，所以∠BEH=∠CFE=．又在Rt△BHE中，BE=3，所以，由二面角的平面角的大小为，得∠AHB=，17在Rt△ABH中，解得．所以当时，二面角的平面角的大小为．(2)法二由题知，平面ABCD⊥平面BEFC，又平面ABCD平面BEFC=BC，DC⊥BC，则DC⊥平面BEFC．又CF⊥BC，则BC，CD，CF两两垂直，以点C为坐标原点，CB，CF和CD所在直线分别作为轴，轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，从而，．设平面AEF的法向量为，由，0得，，取，则，，即平面AEF的二个法向量为．不妨设平面EFCB的法向量为，由条件，得，解得．所以当时，二面角的平面角的大小为．19．【解析】该参与者随机猜对问题A的概率，随机猜对问题B的概率．回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：17①先回答问题A，再回答问题B，参与者获奖金额的可能取值为，则，，．数学期望．②先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的可能取值为，则，，．数学期望．．于是，当时，，即先回答问题A，再回答问题B，参与者获奖金额的期望值较大；当时，，无论是先回答问题A，再回答问题B，还是先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的期望值相等；当时，，即先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的期望值较大．20．【解析】(1)由题意得，当时，，17又，所以设等差数列的公差为．由，，可得，解得．所以，所以．(2)由(1)得，当时，，当时，，所以当时，；当时，．记，①，②①－②得，故，则．因为，所以．1721．【解析】(1)由题意知，所以，即．又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆，与直线相切，所以，所以，，故椭圆C的方程为．(2)由题意知直线PB的斜率存在且不为0，则直线PB的方程为．由得．①设点，，则．由题意知直线AE的斜率存在，则直线AE的方程为．令，得，将，4)代入整理得．②由①式利用根与系数的关系得，，代入②式整理得．所以直线AE与轴相交于定点Q(1,0)．(3)当过点Q的直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，，．17由得，易知，由根与系数的关系知，，则，则，因为，所以，所以，所以．当过点Q的直线MN的斜率不存在时，其方程为，代入椭圆方程得，不妨设，，此时．综上所述，的取值范围是．22．【解析】(1)当时，，由题意，得即解得．(2)由(1)，知①当时，，由，得；由，得或．所以在和上单调递减，在上单调递增．17因为，，，所以在上的最大值为2．②当时，，当时，；当时，在上单调递增．所以在上的最大值为．所以当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为2．(3)假设曲线上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在轴两侧，因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以，不妨设，则由△POQ斜边的中点在轴上知，且．所以．（*）是否存在两点P，Q满足题意等价于方程(*)是否有解．若，则，代入方程(*)，得，即，而此方程无实数解；当时，则，代入方程(*)，得，即，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，从而，即的值域为．因为，所以的值域为，所以当时，方程有解，即方程(*)有解．所以对任意给定的正实数，曲线上总存在两点P，Q，使得△17POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上．17
