2022年高考模拟考试理科数学试卷参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．如果事件、互斥，那么．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数满足则等于（）A．B．C．D．2．若集合，，则（）A．B．C．D．3．命题“”为假命题，是“”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：开始S=0MS=S+k结束输出S是否k=1①若，，则；②若//，，则；③若，，，则；④若，，，则．其中正确命题的序号是（）A．①③ B．①② C．③④ D．②③5．按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M处的条件为（）A．B．C．D．6．△外接圆的半径为，圆心为，且，，则等于（ ）A．B．C．D．7．如右图，某几何体的三视图均为边长为l的正方形，则该几何体的体积是（）A．B．C．1D．8．对于定义域和值域均为的函数，定义，，…，12，n=1，2，3，…．满足的点称为f的阶周期点．设则f的阶周期点的个数是（）A． B．C． D．xyOAC(1,1)B二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式的解集为．10．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为．11．实数x，y满足，若函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为．12．若的展开式中含x的项为第6项，设，则的值为．13．已知数列满足，（），则的值为，的值为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）CDMBNOBAP14．（坐标系与参数方程选做题）已知是曲线M：（为参数）上的点，是曲线：（t为参数）上的点，则的最小值为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题满分12分）在△ABC中，分别为内角的对边，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状．1217．（本小题满分12分）空气质量指数（单位:）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度0～3535～7575～115115～150150～250空气质量类别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染甲、乙两城市2022年2月份中的15天对空气质量指数进行监测，获得日均浓度指数数据如茎叶图所示：302244896615178823098甲城市320455647697880791809乙城市（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由）（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；（III）在乙城市15个监测数据中任取个，设为空气质量类别为优或良的天数，求的分布列及数学期望．PABCDQM18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．（I）若点是棱的中点，求证：//平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（III）若二面角为30°，设，试确定的值．19．（本小题满分14分）设分别是椭圆C：的左右焦点．（1）设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程；（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．1220．（本小题满分14分）设数列的前项和为，且满足．（I）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）设，求证：．21．（本小题满分14分）已知函数（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）设各项为正的数列满足：求证：2022年高考模拟考试理科数学试卷参考答案一、选择题：题号12345678答案CDADACAC二、填空题：（一）必做题（9～13题）9．；10．；11．2；12．255；13．，（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）1214．；15．．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题满分12分）在△ABC中，分别为内角的对边，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在中，因为，由余弦定理可得．（余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分）…………………3分∵，（或写成是三角形内角）……………………4分∴．……………………5分（Ⅱ）………………7分，……………………9分∵∴∴（没讨论，扣1分）………10分∴当，即时，有最大值是…………………11分又∵，∴∴为等边三角形．………………12分17．（本小题满分12分）空气质量指数（单位:）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度0～3535～7575～115115～150150～250空气质量类别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染甲、乙两城市2022年2月份中的15天对空气质量指数进行监测，获得日均浓度指数数据如茎叶图所示:12302244896615178823098甲城市320455647697880791809乙城市（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由）（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；（III）在乙城市15个监测数据中任取个，设为空气质量类别为优或良的天数，求的分布列及数学期望．解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好．…………………2分（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，…………………3分乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，…………………4分在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为．……………………6分（III）的取值为，……………………7分，，的分布列为：1…………………10分数学期望…………………12分18．（本小题满分14分）PABCDQM如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．（I）若点是棱的中点，求证：//平面；12（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（III）若二面角为30°，设，试确定的值．（I）证明：连接，交于，连接．……………1分∵且，即．∴四边形为平行四边形，且为中点，又∵点是棱的中点，∴……………………2分∵平面，平面，…………3分∴平面．……………………4分（II）证明：∵，，为的中点，∴四边形为平行四边形，∴．……………………5分∵，∴，即．又∵平面⊥底面且平面平面，…………6分∴平面．……………………7分∵平面，∴平面平面．…………………8分另证：，，为的中点，∴且，∴四边形为平行四边形，∴．∵，∴，即．…………………5分∵，∴．…………………6分∵，∴平面．…………………7分∵平面，∴平面平面．……………………8分（III）解：∵，为的中点，∴．∵平面⊥平面，且平面平面，∴平面．……………9分（不证明平面直接建系扣1分）PABCDQMNxyz如图，以为原点，直线、、分别为、、12轴建立空间直角坐标系，则，，，．……10分于是平面的法向量为；设，则，，∵，∴，∴……………………11分在平面中，，，设平面法向量为，由，，不妨令，则得：∴平面法向量为．……………………12分∵二面角为30°，，……13分解得．又，故…………………………14分19．（本小题满分14分）设分别是椭圆C：的左右焦点．（1）设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程；（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线12PM，PN的斜率都存在，并记为试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．解：（1）由于点在椭圆上，…………………1分又2=4，…………………2分椭圆C的方程为：，…………………3分焦点坐标分别为；…………………4分（2）设的中点为，则点…………………6分把的坐标代入椭圆中，得…………………7分线段的中点B的轨迹方程为；…………………8分（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，设，且…………………9分，得…………………10分…………………11分==…………………13分故：的值与点的位置无关，同时与直线无关．…………………14分20．（本小题满分14分）设数列的前项和为，且满足．（I）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）设，求证：．证明：（Ⅰ），，……………2分12又，……………3分是首项为，公比为的等比数列，且．……………4分（Ⅱ）当时，，……………5分当时，．………………7分故．………………8分………………11分………………12分．………………14分21．（本小题满分14分）已知函数（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）设各项为正的数列满足：求证：解：（1）………………1分依题意在时恒成立，即在恒成立．则在恒成立，即………………2分12当时，取最小值………………3分∴的取值范围是………………4分（2）设则………………5分列表：极大值¯极小值∴极小值，极大值，又………………6分方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则，………………7分得………………8分（3）设，则在为减函数，且故当时有．………………10分①当时，成立；②假设，对任意均成立，则当时，，所以当时也成立，由①②得，成立，………………12分从而………………13分12即，∴………………14分12
