2022-2022学年广东省深圳市宝安中学高一（下）期中数学考试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共50分）1．（5分）sin17°sin223°+sin73°cos43°=（ ） A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：先利用诱导公式把原式的各项化简后，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出原式的值．解答：解：sin17°sin223°+sin73°cos43°=sin17°•sin（180°+43°）+sin（90°﹣17°）•cos（90°﹣47°）=sin17°（﹣sin43°）+cos17°•sin47°=sin47°cos17°﹣cos47°•sin17•=sin（47°﹣17°）=sin30°=故选：A．点评：此题考查学生灵活运用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，学生做题时应注意角度的灵活变换． 2．（5分）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（ ） A．8πB．C．12πD．9π考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：先求出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的全面积．解答：解：一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为4，则它的边长是a，所以a2=4，∴a=4，这个圆锥的全面积是：4π+×4π×4=12π故选C．点评：本题考查圆锥的有关知识，考查空间想象能力，是基础题． 3．（5分）（2022•河南模拟）已知，则tan2x=（ ） A．B．C．D．考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．13\n解答：解：由cosx=，x∈（﹣，0），得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合． 4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列四个命题中，正确命题的序号是（ ）①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n∥α，则m⊥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β． A．①②B．②③C．③④D．①④考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或为异面直线都有可能，即可判断出；②由α∥β，β∥γ，利用平行平面的传递性可得α∥γ，又m⊥α，利用线面平行与线面垂直的性质可得m⊥γ；③由n∥α，过直线n作平面β∩α=k，利用线面平行的性质定理可得n∥k．又m⊥α，利用线面垂直的性质定理可得m⊥k，根据等角定理可得m⊥n，；④由α⊥γ，β⊥γ，可得α∥β或α与β相交（例如墙角）．．解答：解：①若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或为异面直线都有可能，因此不正确；②∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ，正确；③∵n∥α，过直线n作平面β∩α=k，则n∥k．∵m⊥α，∴m⊥k，则m⊥n，故正确；④∵α⊥γ，β⊥γ，∴α∥β或α与β相交，故不正确．综上可知：只有②③正确．故选B．点评：熟练掌握线面、面面平行于垂直的性质定理是解题的关键． 5．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）13\n A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题．分析：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．解答：解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选D．点评：本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题． 6．（5分）函数的一个单调递增区间是（ ） A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角差的正弦函数化简函数的表达式，根据正弦函数的单调性，求出函数的单调增区间．解答：解：=sin2x﹣cos2x﹣sin2x=﹣sin2x﹣cos2x=﹣sin（2x+）函数y=sin（2x+）的一个单调递减区间为y=﹣sin（2x+）的增区间令2kπ+≤2x+≤+2kπ（k∈Z）解得：kπ+≤x≤+kπ，（k∈Z）取k=0，得≤x≤故选：D．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的单调性的应用，考查计算能力，基本知识掌握的好坏，是解题的关键． 7．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是（ ） A．aB．aC．aD．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用等体积法，VA﹣MBD=VB﹣AMD．求出MDB的面积，然后求距离即可．解答：解：A到面MBD的距离由等积变形可得．13\nVA﹣MBD=VB﹣AMD．即：即易求d=a．故选D点评：本题考查点到平面的距离，等体积法求距离的方法，是基础题． 8．（5分）函数y=sin（3x+）•cos（x﹣）+cos（3x+）•cos（x+）的一条对称轴是（ ） A．x=B．x=C．x=﹣D．x=考点：正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：由诱导公式可得：cos（x+）=sin（﹣x﹣）=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），进而利用两角差的余弦公式的逆用可得y=cos2x，再结合余弦函数的性质解决问题．解答：解：由诱导公式可得：cos（x+）=sin（﹣x﹣）=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）所以y=sin（3x+）•cos（x﹣）+cos（3x+）•cos（x+）=sin（3x+）•cos（x﹣）﹣cos（3x+）•sin（x﹣）=sin（3x+﹣x+）=sin（2x+）=cos2x，所以它的对称轴方程式x=．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握两角和与两角差的正弦与余弦公式，以及余弦函数的有关性质． 9．（5分）如图，正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为a，两侧棱PA、PC的夹角为30°，E、F分别是PA、PC上的动点，则△BEF的周长的最小值是（ ）13\n A．B．C．D．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：画出三棱锥的沿PA展开的侧面展开图，直接求得的△BEF的周长的最小值AA1．解答：解：三棱锥的侧面展开图，如图，△BEF的周长的最小值为BB1，由于题设知∠BPB1=90°，正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为a所以BB1=a，故选A．点评：本题考查棱锥的结构特征、棱锥的侧面展开图，是基础题． 10．（5分）过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=6，BC=8，AC=10，则球的表面积是（ ） A．100πB．300πC．πD．π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：根据边长知△ABC是RT△，则球心的身影为斜边的中点，再由勾股定理求得．解答：解：根据题意△ABC是RT△，且斜边上的中线为5，又∵球心的身影为斜边的中点，设球的半径为r，则有∴∴故选D．点评：本题主要考查直角三角形中线定理及球的基本性质． 二、填空题（每小题5分，共计20分）11．（5分）求值：= ．二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．13\n考点：专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式吧要求的式子化为．约分后再用两角和差的余弦公式，运算求得结果解答：解：====，故答案为．点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属于中档题． 12．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为 2+ ．考点：平面图形的直观图．专题：计算题．分析：根据所给的直观图中直角梯形的数据，做出下底的长度，根据梯形的面积公式求出梯形的面积，根据原来的平面图形的面积是直观图面积的2倍，做出平面图形的面积．解答：解：∵直角梯形∠ABC=45°，AB=AD=1，∴BC=1+，∴直观图的面积是∵原来的平面图形的面积是直观图面积的2倍，∴平面图形的面积是2×=2+故答案为：2+点评：本题考查平面图形的直观图，本题解题的关键是知道平面图形与直观图面积之间的关系，直接利用这种关系得到要求的结果． 13\n13．（5分）设，则a，b，c的大小关系为 a＜c＜b ．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：利用两角和的余弦公式及诱导公式，我们可得a=sin22°，由二倍角的正切公式，可得b=tan26°，由半角公式，可得c=sin26°，再结合正弦函数的单调性和同角三角函数关系，即可得到a，b，c的大小关系．解答：解：∵=cos60°•cos8°﹣sin60°•sin8°=cos68°=sin22°，=tan26°=sin26°∵sin22°＜sin26°＜tan26°∴a＜c＜b故答案为：a＜c＜b点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，其中根据两角和余弦公式、诱导公式、二倍角的正切公式、半角公式，求出a，b，c的值，是解答本题的关键． 14．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为2，则异面直线BC1与A1C所成的角是 ．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：如图所示，建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到异面直线所成的角．解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，点O，O1分别为边AC，A1C1的中点．则，C（﹣1，0，0），，．∴，=，∴=﹣2+0+2=0．∴BC1⊥CA1．13\n∴异面直线BC1与A1C所成的角是．故答案是．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到异面直线所成的角． 三、解答题（共6题，共计80分）15．（12分）已知，，且，，求cos（α﹣β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由已知的条件求得、的范围，利用角三角函数的基本关系求得、的值，再由，利用两角和的余弦公式求得结果．解答：解：∵，，∴，．…（2分）又∵，，∴，．…（6分）∴==．…（12分）点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于中档题．13\n 16．（12分）（2022•黑龙江）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（I）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．解答：证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题． 17．（14分）已知函数．（1）若f（x）图象左移θ单位后对应函数为偶函数，求θ的值；（2）若时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．13\n专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据左移θ后对应函数为偶函数，求得θ的值．（2）根据时，不等式f（x）＞m恒成，可得m＜f（x）min，再由，求得f（x）的最小值，从而求得m的取值范围．解答：解：（1）…（4分）∵左移θ后对应函数为偶函数，∴，∴…（7分）（2）∵时，不等式f（x）＞m恒成立，∴m＜f（x）min，（9分）而，∴f（x）min=2，∴m的取值范围是（﹣∞，2）．…（14分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题． 18．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、P分别BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=1，AB=2．（1）求证：MN∥面ADD1A1；（2）求MN与平面ABCD所成角的正切值；（3）求三棱锥P﹣DEN的体积．考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线面平行，从而可得面面平行，即可证明MN∥面ADD1A1；（2）确定MN与平面ABCD所成角，再利用三角函数，即可求得角的正切值；（3）利用转换底面方法，即可求三棱锥P﹣DEN的体积．解答：（1）证明：取CD的中点K，连结MK、NK∵M、N、K分别为AK、CD1、CD的中点∴MK∥AD，NK∥DD113\n∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1∴面MNK∥面ADD1A1∴MN∥面ADD1A1…（4分）（2）解：由（1）知∠NMK是直线MN与平面ABCD所成的角…（5分）∵，∴…（8分）（3）作DQ⊥CD1交CD1于Q，由A1D1⊥面CDD1C1得，A1C1⊥DQ∴DQ⊥面BCD1A1∴在Rt△CDD1中，∴…（14分）点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查面面平行，考查线面角，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 19．（14分）（2022•双流县三模）已知A，B，C为锐角△ABC的三个内角，向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA）与=（sinA﹣cosA，1+sinA）共线．（1）求角A的大小；（2）求函数的值域．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：（1）由已知，利用向量共线的条件及A为锐角整理可得，sinA=，从而可求（2）结合（1）中的条件可把所求函数式化简得，，利用辅助角公式可得y=sin2B﹣）+1，结合题中锐角三角形的条件可求B的范围，进而求出函数的值域13\n解答：解：（1）=（sinA﹣cosA，1+sinA）且共线，得（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA﹣cosA）（cosA+sinA）=0化简，得sinA=±又△ABC是锐角三角形∴sinA=（2）由A=得B+C=，即C=﹣By=2sin2B+cos=1﹣cos2B+cossin2B=1+sin2Bcos∵∴＜2B＜π∴∴．故因此函数y=2sin2B+cos的值域为（，2]点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示，特殊角的三角函数值，和差角公式的运用，正弦函数的值域的求解等知识，综合的知识较多，但都是基本方法的考查，要求考生具备扎实的基本功．熟练的运用知识 20．（14分）（2022•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：作图题；证明题；综合题．分析：（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE∥平面A1CB；（2）由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；（3）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA13\n1C底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．解答：解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB，（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题． 13
