宝安中学2022届高三10月月考数学（文科）注意事项：1、考生务必将自己的姓名、考号、考试科目信息等填涂在答题卷上；2、选择题、综合题均完成在答题卷上；3、考试结束，监考人员将答题卷收回。本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知，那么复数z对应的点位于复平面内的（ ）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）设集合，集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）（3）在中，，下列等式成立的是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知正方形的边长为2，是中点，在正方形内部随机取一点，则满足的概率为（）（A）（B）（C）（D）（5）等差数列的公差为2，若成等比数列，则（）（A）（B）（C）（D）（6）关于函数，下列说法正确的是（）（A）是奇函数（B）最小正周期是-10-（C）是图像的一个对称中心（D）图像由的图像向右平移个单位得到（7）如图程序框图中，若输入，则输出a，i的值分别是（ ）（A）12,4（B）16,5（C）20,5（D）24,6（8）设分别是中，所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）（A）平行（B）重合（C）垂直（D）相交但不垂直（9）函数与的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）（10）如图三棱锥，，若侧面⊥底面，则其主视图与左视图面积之比为（）（A）（B）（C）（D）（11）已知，直线平分圆的周长，则的最大值为（）（A）6（B）4（C）3（D）（12）已知函数，，下列结论错误的是()（A）函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称-10-（B）在同一坐标系中，函数的图象在函数的图象的下方（C）函数的值域是（D）在恒成立第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.一、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）曲线在点处的切线方程为 ．（14）设变量满足，若直线经过该可行域，则k的最大值为 ．（15）长方体外接球半径为3，则长方体表面积的最大值为 ．（16）已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过A，B分别作抛物线的切线，且二者相交于点C，则的面积的最小值为 ．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”，方案要求以学校为单位组织实施，某校对高一1班同学按照“国家学生体质健康数据测试”项目按百分制进行了测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90～100分数段的人数为2人．（Ⅰ）请求出70～80分数段的人数；（Ⅱ）现根据测试成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成搭档小组．若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“搭档组”，试求选出的两人为“搭档组”的概率．（18）（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为且满足.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的值.-10-（19）（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，平面,，已知.（Ⅰ）设是上一点，证明：平面平面；（Ⅱ）若是的中点，求棱锥的体积.（20）（本小题满分12分）已知椭圆：上顶点为，右顶点为，离心率，为坐标原点，圆：与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线与椭圆相交于、两不同点，若椭圆上一点满足．求面积的最大值及此时的．（21）（本小题满分12分）设函数.（Ⅰ）若函数在其定义域上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，设函数，若在上存在使成立，求实数的取值范围．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲是的一条切线，切点为，过外一点作直线交于，连接交于，连接交于，连接，已知（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为-10-（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆交于两点，点的坐标为，试求的值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，且，若恒成立，（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.-10-宝安中学2022届高三10月月考数学（文科）参考答案一、选择题：1-5：CBDBB6-10:CCCDA11-12:AD二、填空题：13、14、115、7216、4三、解答题：17、解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：50～60（分）的频率为0.1，60～70（分）的频率为0.25，80～90（分）的频率为0.15，90～100分的频率为0.05；……………（1分）∴70～80（分）的频率为1﹣0.1﹣0.25﹣0.15﹣0.05=0.45，…………………………（2分）∵90～100分数段的人数为2人，频率为0.05∴参加测试的总人数为人．（4分）∴70～80（分）数段的人数为40×0.45=18．……………………………………………（5分）（Ⅱ）∵参加测试的总人数为人，∴50～60（分）数段的人数为40×0.1=4人．…………………………………………（6分）设第一组50～60（分）数段的同学为A1，A2，A3，A4；第五组90～100分数段的同学为B1，B2，……………………………………………………………………………………………（7分）则从中选出两人的选法有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15种；………………………………………………………………………………（9分）其中两人成绩差大于20的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种；………………………………………………………（11分）则选出的两人为“搭档组”的概率为P=．…………………………………………（12分）18、解：（Ⅰ）即………………………………………………………………（4分）……………………………………………（5分）…………………………………………………………（6分）-10-（Ⅱ）由余弦定理得①……………（8分）又，即②…………………………（10分）由①②解得…………………………………………………………（12分）19、解：（Ⅰ）在中，…………………………（2分）又平面，平面………………………………（4分）又平面……………………………………………………（5分）又平面平面平面.………………………………………（6分）（Ⅱ）…………………………………………………………………………………（12分）20、解：（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为：，即为bx+ay﹣ab=0因为圆O与直线AB相切，所以，①………………………（2分）设椭圆的半焦距为c，因为b2+c2=a2，，所以②…………………………………………………………………………（3分）由①②得：a2=2，b2=1所以椭圆C的标准方程为：…………………………………………………（5分）（Ⅱ）由可得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0设E（x1，y1），F（x2，y2）则，…………………………………………………（7分）所以-10-又点O到直线EF的距离，∵OP∥l，∴=……………………（9分）又因为，又k≠0，∴令t=1+2k2∈（1，2），则，所以当时，最大值为所以当时，△EPF的面积的最大值为…………………………………………（12分）21、解：（Ⅰ）因为函数f(x)在其定义域上为增函数，即f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以1＋－≥0恒成立，即a≤x＋.……………………………………………（2分）又x＋≥2＝2(当且仅当x＝1时取等号)…………………………………（4分）故a的取值范围为(－∞，2]．………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由在[1，e]上存在x1，x2使f(x1)≥g(x2)成立，可知当x∈[1，e]时，f(x)max≥g(x)min.……………………………………………………………………………（6分）又因g′(x)＝1－，所以当x∈[1，e]时，g′(x)≥0，即函数g(x)在区间[1，e]上是单调递增的函数，最小值为g(1)＝1－ln1－＝1－.………………………………（8分）由(1)知f′(x)＝，因为x2>0，又函数y＝x2－ax＋1的判别式Δ＝(－a)2－4×1×1＝a2－4，(ⅰ)当a∈[－2,2]时，Δ≤0，则f′(x)≥0恒成立，即函数f(x)在区间[1，e]上是单调递增的函数，故函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为f(e)＝e－－a，故有f(e)≥g(1)，即e－－a≥1－，解得a≤e－1.又a∈[－2,2]，所以a∈[－2，e－1]；…………………………………………（10分）-10-(ⅱ)当a<－2时，Δ>0，f′(x)＝0的两根为x1＝，x2＝，此时x1<0，x2<0.故函数f(x)在区间[1，e]上是单调递增的函数．由(ⅰ)知，a≤e－1，又a<－2，故a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，e－1]．………………………………………（12分）22、解答：证明：（Ⅰ）∵AB是⊙O的一条切线，AE为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AB=AC，∴AC2=AD•AE．……………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴GF∥AC．…………………………………………………（10分）23、解答：解：（Ⅰ）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），化为x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8．………………………………………（4分）（Ⅱ）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，…………………………………………………………………………（6分）∴t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4＜0．|t1﹣t2|===2．………（8分）∴====．…………………………（10分）24、解：（Ⅰ）………………………………（2分）-10-当且仅当，即时等号成立，…………………………………………（4分）又恒成立，，的最小值为3……………………………………（5分）（Ⅱ）由上知即可………………………………………………………（6分）即或或……………………………（8分）解得或，故的取值范围为…………………（10分）-10-
