2022-2022学年广东省惠州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．（5分）已知{an}为等比数列，a1=1，a4=8，则{an}的公比q等于（ ） A．±2B．2C．D．考点：等比数列的性质．分析：结合题意由等比数列的通项公式可得8=1×q3，由此求得q的值．解答：解：等比数列{an}中，a1=1，a4=8，设公比等于q，则有8=1×q3，∴q=2，故选：B．．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于基础题． 2．（5分）已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（ ） A．a∥bB．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间直线与平面平行的定义，判断直线与平面内的直线有平行与异面两种位置关系，从而判定答案．解答：解：∵a∥平面α，b⊂α，∴直线a与直线b的位置关系是：a∥b或a与b异面，∴选项A、B、C错误，D正确．故选D．点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系． 3．（5分）如图所示的空心圆柱体的正视图是（ ） A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：空心圆柱体的主视图是矩形，且有两条竖着的虚线．解答：解：从正面看，外面是一个矩形，且其中有两条竖画的虚线．故选C．点评：11\n本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 4．（5分）正方体各棱长为1，它的表面积与体积的数值之比为（ ） A．1：6B．6：1C．4：1D．1：4考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：利用正方体表面积、体积公式分别求出表面积与体积的数值，再做比值即可．解答：解：正方体各棱长为1，它的表面积为6×1×1=6体积为1×1×1=1，表面积与体积的数值之比6：1故选B点评：本题考查了正方体表面积、体积的基本计算，是基础题． 5．（5分）在直角坐标系中，直线的倾斜角为（ ） A．B．C．D．考点：直线的点斜式方程；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由于直线的斜率k=可利用直线的倾斜角与斜率的关系再结合倾斜角的范围即可得解．解答：解：设直线的倾斜角为α∵直线∴斜率k==tanα又∵α∈[0，π）∴α=故选A点评：本题主要考察了利用直线的倾斜角求斜率，属常考题，有一定难度．解题的关键是会根据直线方程求斜率然后能根据斜率与倾斜角的关系（k=tanα）再结合倾斜角的范围（α∈[0，π））能求出α的值！ 6．（5分）不等式﹣x2+3x+4＞0的解集为（ ） A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：把原不等式两边同时乘以﹣1，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得二次不等式的解集．解答：解：由﹣x2+3x+4＞0，得x2﹣3x﹣4＜0．即（x+1）（x﹣4）＜0，解得﹣1＜x＜4．所以不等式﹣x2+3x+4＞0的解集为（﹣1，4）．故选A．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了因式分解法，是基础题． 7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=4，b=4，A=30°，则角B等于（ ）11\n A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由A的度数求出sinA的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．解答：解：∵a=4，b=4，A=30°，∴由正弦定理=得：sinB===，∵B为三角形的内角，b＞a，∴B＞A，则B=60°或120°．故选D点评：此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 8．（5分）如图的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角是（ ） A．30°B．45°C．60°D．90°考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．解答：解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故选C点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键． 9．（5分）已知直线l过定点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3），B（﹣4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A．[﹣1，5]B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）11\n考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．专题：直线与圆．分析：先利用斜率公式求得直线PA，PB的斜率结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围．解答：解：直线PA的斜率为k1==5，直线PB的斜率为k2==﹣1，结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围是k2≤k≤k1，即则直线l的斜率k的取值范围是[﹣1，5]，故选A．点评：本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 二、填空题：（本大题共3题，每小题5分，共15分．请将答案填写在横线上．）10．（5分）点A（2，1）到直线x﹣y+1=0的距离为 ．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：直接由点到直线的距离公式求点A（2，1）到直线x﹣y+1=0的距离．解答：解：由点到直线的距离公式，得点A（2，1）到直线x﹣y+1=0的距离d=．故答案为．点评：本题考查了点到直线的距离公式，解答的关键是熟记公式，是基础题． 11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=60°，a=1，S△ABC=，则边b= ．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知面积及a，sinB的值代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出b的值．11\n解答：解：∵B=60°，a=1，S△ABC=，∴S△ABC=acsinB，即c=，解得：c=2，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=1+4﹣2=3，解得：b=．故答案为：点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 12．（5分）过两点A（﹣2，4），B（﹣1，3）的直线斜截式方程为 y=﹣x+2 ．考点：直线的两点式方程．专题：计算题．分析：利用直线的两点式可求得直线AB的方程，从而可得其斜截式方程．解答：解：∵A（﹣2，4），B（﹣1，3），∴直线AB的方程为：=，即=﹣1，∴y=﹣x+2．即直线AB的斜截式方程为y=﹣x+2．故答案为：y=﹣x+2．点评：本题考查直线的两点式与斜截式方程，掌握公式是基础，属于基础题． 三、解答题：（本大题共3题，满分40．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）13．（12分）设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=﹣2，S7=7，（1）求数列{an}的通项公式；（2）Tn为数列的前n项和，求Tn．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由{an}为等差数列，a1=﹣2，S7=7，可求得其公差，从而可得数列{an}的通项公式；（2）由（1）知an=n﹣3，于是可求得=，利用等差数列的定义易证明数列{}是等差数列，其首项为﹣2，公差为，从而可求其前n项和Tn．解答：解（1）设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n（n﹣1）d，…（1分）∵S7=7，∴7=7×（﹣2）+d，解得d=1…（3分）∴an=﹣2+（n﹣1）×1=n﹣3，∴数列{an}的通项公式为an=n﹣3…（6分）11\n（2）=a1+（n﹣1）d=﹣2+（n﹣1）=，…（8分）∵﹣=，∴数列{}是等差数列，其首项为﹣2，公差为，…（10分）∴Tn=n×（﹣2）+×=n2﹣n．…（12分）点评：本题考查等差数列的通项公式，考查等差关系的判定与等差数列的求和，属于中档题． 14．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：直线A1C1⊥面BDD1B1；（2）若AA1=2，求四棱锥D1﹣ABCD的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据正方体的性质，得到BB1⊥平面A1B1C1D1，从而BB1⊥A1C1，结合正方形A1B1C1D1中B1D1⊥A1C1，利用线面垂直判定定理即可证出直线A1C1⊥面BDD1B1；（2）由AA1=2算出正方形ABCD的面积为4，由DD1⊥平面ABCD得到DD1=2为四棱锥D1﹣ABCD的高，由此结合锥体的体积公式即可算出四棱锥D1﹣ABCD的体积．解答：解：（1）BB1⊥平面A1B1C1D1，且A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1…（2分）∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴B1D1⊥A1C1…（4分）又∵BB1⊂平面BDD1B1，B1D1⊂平面BDD1B1，BB1∩B1D1=B…（6分）∴直线A1C1⊥面BDD1B1；…（8分）（2）∵AA1=2，可得正方形ABCD的边长等于2，∴正方形ABCD的面积S=2×2=4…（10分）∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1为四棱锥D1﹣ABCD的高…（12分）∴V=×SABCD×DD1=，即四棱锥四棱锥D1﹣ABCD的体积为．…（14分）11\n点评：本题在正方体中证明线面垂直，并求锥体的体积．着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质和锥体体积的求法等知识，属于中档题． 15．（14分）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．考点：恒过定点的直线；直线的斜率；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）可求得直线l的方程及直线l在y轴上的截距，依题意，从而可解得k的取值范围；（2）依题意可求得A（﹣，0），B（0，1+2k），S=（4k++4），利用基本不等式即可求得答案．解答：解：（1）直线l的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是：k≥0…（5分）（2）依题意，直线l在x轴上的截距为：﹣，在y轴上的截距为1+2k，∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0…（10分）点评：本题考查恒过定点的直线，考查直线的一般式方程，考查直线的截距及三角形的面积，考查基本不等式的应用，属于中档题． 四、期末考试部分包括一道选择题（满分50分），一道填空题（满分50分）和三道解答题（满分50分），解答题须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（4分）直线y=﹣与直线3y﹣x﹣2=0垂直，则a的值为（ ） A．﹣3B．﹣6C．D．6考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．11\n专题：计算题；直线与圆．分析：利用两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程求出m的值．解答：解：直线y=﹣的斜率为﹣直线3y﹣x﹣2=0的斜率为∵直线y=﹣与直线3y﹣x﹣2=0垂直∴﹣×=﹣1解得：a=6故选：D．点评：此题考查了两直线垂直的条件，属于基础题，要认真解答． 17．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设，，则P与Q的大小关系是 P＞Q ．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：根据数列{an}成等比数列，所以有a5•a7=a3•a9，然后利用基本不等式得到P与Q的大小．解答：解：因为数列{an}成等比数列，所以有a5•a7=a3•a9，所以由基本不等式得，当且仅当a3=a9，即q=1时等号成立，而q≠1，所以等号不能成立，故P＞Q．故答案为P＞Q．点评：本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，属基础型问题． 18．（12分）（2022•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．11\n解答：证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力． 19．（14分）设数列{an}的前n项和为．（1）求a1，a2，a3；（2）证明：{an+1﹣2an}是等比数列；（3）求{an}的通项公式．考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用，n分别取1，2，3，代入计算可求a1，a2，a3；（2）利用，再写一式，化简即可证明{an+1﹣2an}是等比数列；（3）由，可得n≥2时，=+1，利用累加法，即可求{an}的通项公式．解答：（1）解：∵，∴，∴a1=2．…（1分）=2+22=6…（2分）=8+23=16…（3分）（2）证明：∵，∴当n≥2时，…（4分）∴两式相减可得…（6分）∴=2，…（7分）∴{an+1﹣2an}是首项为2，公比为2的等比数列．…（8分）（3）解：由（2）得，11\n∴n≥2时，=+1…（10分）由累加法可得∴an=（n+1）•2n﹣1．…（12分）当n=1时，a1=2也满足上式，…（13分）∴an=（n+1）•2n﹣1…（14分）点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 20．（20分）t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10﹣t，0）．（1）直线PQ是否能通过下面的点M（6，1），点N（4，5）；（2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．①求证：顶点C一定在直线y=x上．②求下图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A、B、C、D的坐标．考点：直线的两点式方程；两条平行直线间的距离．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：对于（1）可先求直线PQ的方程再把点M，点N的坐标代入检验即可得到结论．对于（2）的①找出点C的坐标看是否适合直线y=x．对于（2）的②阴影部分的面积即为三角形的面积减去正方形的面积，作差求最值即可．解答：解：（1）令过P、Q方程tx﹣2（t﹣5）y+t2﹣10t=0，假设M过PQ，则t2﹣6t+10=0，△=36﹣40＜0，无实根，故M不过直线PQ．若假设N过直线PQ，同理得：t2﹣16t+50=0，t1=8﹣，t2=8+（舍去）∵t∈（0，10），当t=8﹣时，直线PQ过点N（4，5）（2）由已知条件可设A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）．①点C（2a，a），即，消去a得y=x，故顶点C在直线y=x上．11\n②令阴影面积为S，则s=|10﹣t|﹣|t|﹣a2∵t＞0，10﹣t＞0，S=（﹣t2+10t）﹣a2∵点C（2a，a）在直线PQ上，∴2at﹣2（t﹣5）a=﹣t2+10t∴a=（10t﹣t2），S=×10a﹣a2=﹣+∴当a=时，Smax=，此时顶点A、B、C、D的坐标为A（，0），B（5，0），C（5，），D（，）点评：转化思想是我们高中常考的一种解题思想，常用于正面不好求，但转化后好求的题中．11
