执信中学2022-2022学年高二下学期期末考试数学理试题第一部分选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的最小正周期是（*）A．B．C．D．解：由题意，函数，所以，故选答案C2．集合，，则（*）A．B．C．D．解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x2≤9}={x|-3≤x≤3}，∴M∩N={x|1＜x≤3}，故选B．3．已知复数在复平面内对应的点分别为，则（*）A．B．C．D．解：由题意可得，故，故选答案C4．设，则“”是“复数为纯虚数”的（*）A.充分而不必要条件B、必要而不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=0，y≠0．“若x=0则x+yi为纯虚数”是假命题，反之为真．∴x，y∈R，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的必要不充分条件，故选B5.双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则（*）A．B．C．D．11\n6．在实验员进行一项实验中，先后要实施个程序，其中程序只能出现在第一步或最后一步，程序和实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（*）A、15种B、18种C、44种D、24种解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序C或D实施时必须相邻，∴把C或D看做一个元素，同除A外的2个元素排列，注意C或D之间还有一个排列，共有A33A22=12种结果，根据分步计数原理知共有2×12=24种结果，故选D．7．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图1所示，则其侧视图的面积为（*）A．B．C．D．8．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域11\n也是，则称是该函数的“和谐区间”．若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（*）A．B．C．D．第二部分非选择题(共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9．如图2，在中，直径与弦垂直，垂足在半径上，，垂足为，若，，则解：在Rt△BCE中，EC2=CF•CB=5，∴EC2=5．∵AB⊥CD，∴CE=ED．由相交弦定理可得AE•EB=CE•EB=CE2=5．∴（3-OE）•（3+OE）=5，解得OE=2，∴AE=3-OE=1．故答案为1．10．计算.11．若执行图3中的框图，输入，则输出的数等于______11\n12．若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为．(用数字作答)13．观察下列不等式：①；②；③；…则第⑤个不等式为．11\n14．设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数，如果定义域为的函数是奇函数，当时，＝，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）已知向量，(1)若，求(2)设若，求的值.11\n16.（本小题满分12分）某市举行一次数学新课程骨干培训活动，共邀请15名使用不同版本教材的数学教师，具体情况数据如下表所示：版本人教A版人教B版性别男教师女教师男教师女教师人数64现从这15名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的女教师的概率是.且.(1)求实数,的值(2)培训活动现随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.(2)由题意得；；故的分布列为012故数学期望17.（本小题满分14分）11\n如图（4），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,现将梯形沿CB、DA折起，使且，得一简单组合体如图（5）示，已知分别为的中点．(1)求证：平面；（2）求证：；（3）当多长时，平面与平面所成的锐二面角为？（本小题满分14分）.（1）证明：连，∵四边形是矩形，为中点，∴为中点，--------------------------------------------------------------1分在中，为中点，则为的中位线故--------------------------3分∵平面，平面，平面；---4分（其它证法，请参照给分）（2）依题意知且∴平面∵平面，∴，------------------5分∵为中点，∴结合，知四边形是平行四边形∴，----------------------------------------------------7分而，∴∴，即-----8分又∴平面，∵平面，∴.------------------------------------------------9分（3）解法一：如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系设，则易知平面的一个法向量为，-----------10分11\n设平面的一个法向量为，则故，即令，则，故----------------------------------------11分∴，依题意，，解得，-------------------------------------------------------13分即时，平面与平面所成的锐二面角为．------------------------14分【解法二：过点A作交DE于M点，连结PM，则∴为二面角A-DE-F的平面角，---------------------------------------------------------11分由=600，AP=BF=2得AM，-------------------------------------12分又得，解得，即时，平面与平面所成的锐二面角为．--------14分18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中,已知,直线,动点到的距离是它到定直线距离的倍.设动点的轨迹曲线为.（1）求曲线的轨迹方程.（2）设点,若直线为曲线的任意一条切线,且点、到的距离分别为,试判断是否为常数,请说明理由.11\n解:(1)由题意,设点,则有,点到直线的距离,故,化简后得:.故动点的轨迹方程为(2)是常数,证明如下:若切线斜率不存在,则切线方程为,此时当切线斜率存在时,设切线:,代入,整理得:,化简得:又由:,,=常数.综上,故对任意切线,是常数19.（本小题满分14分）已知函数(1)已知任意三次函数的图像为中心对称图形,若本题中的函数图像以为对称中心,求实数和的值(2)若,求函数在闭区间上的最小值解：（1）由函数图像以为对称中心，则，代入计算得：，故则（1）另解：由则，则，故则（2）由11\n因为，讨论：1.若，如下表：0则此时2.若时，如下表：100由，当时，，则当时，，则综上所述：20.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，对于任意的恒有(1)求数列的通项公式(2)若证明：解:(1)当时，又两式相减得：又，得，满足11\n数列是以为首项，2为公比的等比数列．得(1)证明：由（1）可知由因为故,由当时,则不等式成立.另解:,当时,总有(用数学归纳法证明,略)当则时,故则不等式成立.11
