2022年广东省惠州市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：本大题共l0小题，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分50分．1．（5分）（2022•惠州二模）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（ ） A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1B．若a≥b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1考点：四种命题．专题：阅读型．分析：本题考查的知识点是四种命题，根据若原命题为：若p，则q．否命题为：若┐p，则┐q．我们易得答案．解答：解：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q．否命题为：若┐p，则┐q．∵原命题为“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”∴否命题为：若a≤b，则a﹣1≤b﹣1故选C点评：此题是基础题．若原命题为：若p，则q．逆命题为：若q，则p．否命题为：若┐p，则┐q．逆否命题为：若┐q，则┐p． 2．（5分）（2022•陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ） A．4，6，1，7B．7，6，1，4C．6，4，1，7D．1，6，4，7考点：信息的加密与去密；进行简单的合情推理．专题：压轴题．分析：根据题意中给出的加密密钥为a+2b，2b+c，2c+3d，4d，如上所示，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，我们不难易得，明文的4个数与密文的几个数之间是一种函数对应的关系，如果已知密文，则可根据这种对应关系，构造方程组，解方程组即可解答．解答：解：∵明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，∴当接收方收到密文14，9，23，28时，则，解得，解密得到的明文为6，4，1，7故选C．点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果． 3．（5分）（2022•惠州二模）已知向量=（2x﹣1，4），=（2﹣x，3），若，则实数x的值等于（ ） A．B．C．D．11考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量的平行可得3（2x+1）﹣4（2﹣x）=0，解之可得答案．解答：解：因为，=（2x﹣1，4），=（2﹣x，3），所以3（2x+1）﹣4（2﹣x）=0，解得．故选B．点评：本题考查平行向量与共线向量，涉及平面向量的坐标运算，属基础题． 4．（5分）（2022•惠州二模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（ ） A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍得a=2b，进而根据c2=a2﹣b2用b表示c，进而代入e2=求得e．解答：解：∵椭圆的长轴长是短轴长的倍∴2a=•2b，即a=b∴a2=2b2c2=a2﹣b2=2b2﹣b2=b2∴e2===∴e=故选B点评：本题主要考查椭圆的性质．属基础题． 5．（5分）（2022•惠州二模）在一次射击训练中，一小组的成绩如下表：环数789人数23已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（ ） A．5B．6C．4D．7考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数，据此列出方程，再求解．解答：解：设成绩为8环的人数是x，由平均数的概念，得：7×2+8x+9×3=8.1（2+x+3）⇒x=5．故选A．点评：本题主要考查了平均数的概念．一组数据的平均数等于所有数据的和除以数据的个数． 6．（5分）（2022•惠州二模）下列函数为奇函数的是（ ）11 A．B．y=x3C．y=2xD．y=log2x考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过四个选项利用函数的奇偶性的定义判断，或利用基本函数的奇偶性判断即可得到选项．解答：解：对于A：满足f（﹣x；=f（x），所以函数是偶函数；对于B，函数满足f（﹣x）=﹣x3=﹣（x），所以函数是奇函数，对于C函数是指数函数，也不是奇函数也不是偶函数；对于D函数是对数函数也不是奇函数也不是偶函数．故选B．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查计算能力，基本函数的性质的考查． 7．（5分）（2022•惠州二模）下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ） A．①②B．①③C．①④D．②④考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：说明4个几何体的三视图的形状，然后判断满足题意的几何体即可．解答：解：①的三视图均为正方形；②的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为圆；③的三视图中正视图是等腰梯形中间含有一条高线的图形．侧视图为梯形，俯视图为内外都是三角形；④的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为正方形．几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是：②④．故选D．点评：本题考查简单几何体的三视图的判断与应用，考查空间想象能力． 8．（5分）（2022•海南）如果执行程序框图，那么输出的S=（ ）11 A．2450B．2500C．2550D．2652考点：设计程序框图解决实际问题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出：S=2×1+2×2+…+2×50的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出：S=2×1+2×2+…+2×50的值．∵S=2×1+2×2+…+2×50=2××50=2550故选C点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 9．（5分）（2022•惠州二模）将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ） A．y=﹣cosxB．y=sin4xC．y=sinxD．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：转化思想．分析：把原函数解析式中的x换成（x+），得到y=sin[2（x+）﹣]的图象，再把x的系数换成原来的倍，即得所求函数的解析式．解答：解：将函数的图象先向左平移，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象．11然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（2×x）=sinx的图象．故选C．点评：本题考查y=Asin（ωx+∅）的图象的变换，注意应用图象变换的规律． 10．（5分）（2022•惠州二模）已知全集R，集合E={x|b＜x＜}，F={x|＜x＜a}，M={x|b＜x}，若a＞b＞0，则有（ ） A．M=E∩FB．M=E∪FC．M=E∩（CRF）D．M=（CRE）∩F考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：因为四个选项都是具体的几何运算，说明对于任意a＞b＞0的a和b的值结果不变，所以把a和b取特殊值，然后直接利用交、并、补集的混合运算求解．解答：解：既然该题对a＞b＞0都成立，利用特殊值法：取a=2，b=1，有E={x|}，F={x|}，M={x|}．则CRF={x|，或x≥2}，E∩（CRF）={x|}∩{x|，或x≥2}={x|}=M．故选C．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查特值化思想方法，解答的关键是能够想到取特殊值，是基础题． 二．填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．11．（5分）（2022•惠州二模）化简：= 2 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先对其分子利用平方和公式展开，由i2=﹣1可得分子为2i，分子为i，可直接消去得2．解答：解：原式===2故答案为：2点评：本题考查复数代数形式的运算，属基础题． 12．（5分）（2022•惠州二模）已知y=f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，都有：，又，则f（2022）= ．考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用条件求出前几项，发现其规律为当x∈N*11时，f（n）的值以4为周期，从而求得f（2022）的值．解答：解：令x=1，则，令x=2，则，同理得，即当x∈N*时，f（n）的值以4为周期，所以．故答案为：．点评：本题是对抽象函数周期性的考查．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键． 13．（5分）（2022•惠州二模）若实数x、y满足条件，则目标函数z=2x+y的最大值为 2 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：由题目给出的线性约束条件画出可行域，找出最优解，把最优解的坐标代入线性目标函数即可求得其最大值．解答：解：由线性约束条件条件，得可行域如图，由图象知：当函数z=2x+y的图象过点时，z=2x+y取得最大值为2．故答案为2．点评：本题考查了简单的线性规划，解答的关键是会利用特殊点代入法求二元一次不等式所表示的平面区域，是基础题． 1114．（5分）（2022•惠州二模）极坐标系中，圆ρ2+2ρcosθ﹣3=0上的动点到直线ρcosθ+ρsinθ﹣7=0的距离的最大值是 ．考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，把此距离加上半径就等于所求的结果．解答：解：圆ρ2+2ρcosθ﹣3=0即x2+y2+2x﹣3=0，（x+1）2+y2=4，表示圆心为（﹣1，0），半径等于2的圆．直线ρcosθ+ρsinθ﹣7=0即x+y﹣7=0，圆心到直线的距离等于=4，故圆上的动点到直线的距离的最大值等于，故答案为．点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，当直线和圆相离时，圆上的动点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径． 15．（2022•惠州二模）（几何证明选讲选做题）如图所示，AB是圆O的直径，，AB=10，BD=8，则cos∠BCE= ．考点：圆周角定理；解三角形的实际应用；与圆有关的比例线段．专题：压轴题；数形结合．分析：连接AD，DE，由已知中AB是圆O的直径，AD=DE，AB=10，BD=8，根据圆周角定理，勾股定理，及三角形外角和定理，我们可得∠BCE=∠DAB，及AD的长，再由余弦定理即可得到答案．解答：解：连接AD，DE，如下图所示：∵AB是圆O的直径，AB=10，BD=8，∴AD=DE=6，∠DAE=∠DEA=∠BAE=∠ABD∴∠BCE=∠BAE+∠ABD=∠DAB∴cos∠BCE=cos∠DAB==11故答案为：．点评：本题考查的知识点是圆周角定理，余弦定理，其中根据圆周角定理及三角形外角和定理得到∠BCE=∠DAB，将问题转化为解三角形问题是解答本题的关键． 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．16．（12分）（2022•惠州二模）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且满足a2+c2﹣b2=ac．（1）求角B的大小；（2）设，求的最小值．考点：余弦定理的应用；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用题设等式和余弦定理求得cosB的值，进而求得B．（2）利用向量的数量积的运算，求得的表达式，进而利用二倍角公式整理，利用A的范围确定sinA的范围，利用二次函数的性质求得其最小值．解答：解：（1）∵a2+c2﹣b2=ac，∴，又∵0＜B＜π，∴．（2）=，∵，∴0＜sinA≤1．∴当sinA=1时，取得最小值为﹣5．点评：本题主要考查了余弦定理的运用，三角函数的最值．注重了基本的知识运用和基本的运算能力． 17．（14分）（2022•惠州二模）正方体ABCD_A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE；（Ⅲ）求三棱锥A﹣BDE的体积．11考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）先证BD⊥面ACE，，再利用线面垂直的性质，即可证得结论；（II）连接AF、CF、EF，由E、F是CC1、BB1的中点，易得AF∥ED，CF∥B1E，从而可证平面ACF∥面B1DE．进而由面面平行的性质可得AC∥平面B1DE；（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积，根据正方体棱长为2，E为棱CC1的中点，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接BD，则BD∥B1D1，（1分）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．（5分）（2）连接AF、CF、EF．∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE平行且等于B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E，CF⊄平面B1DE，B1E⊂平面B1DE（7分）∴CF∥平面B1DE∵E，F是CC1、BB1的中点，∴EF平行且等于BC又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE（7分）∴AF∥平面B1DE∵AF∩CF=F，∴平面ACF∥平面B1DE．（9分）又∵AC⊂平面ACF∴AC∥平面B1DE；解：（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积∴V=••AD•AB•EC=••2•2•1=点评：本题主要考查线面垂直和面面平行，解题的关键是正确运用线面垂直和面面平行的判定定理，属于中档题． 18．（12分）（2022•惠州二模）有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4．（Ⅰ）求他乘火车或飞机来的概率；（Ⅱ）求他不乘轮船来的概率；（Ⅲ）如果他来的概率为0.4，请问他有可能是乘何种交通工具来的？11考点：互斥事件的概率加法公式；互斥事件与对立事件．专题：计算题．分析：根据题意，可以设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A、B、C、D，则事件A、B、C、D之间是互斥的．（Ⅰ）由互斥事件的加法公式，易得乘火车或飞机来的概率为P（A）+P（D），代入数据，计算可得答案；（Ⅱ）“不乘轮船来”与“乘轮船来”为对立事件，由题意可得乘轮船来的概率是0.2，由对立事件的概率公式计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，可得“乘飞机来的”概率为0.4，则可得答案．解答：解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A、B、C、D，则P（A）=0.3，P（B）=0.2，P（C）=0.1，P（D）=0.4，且事件A、B、C、D之间是互斥的．（Ⅰ）他乘火车或飞机来的概率为P1=P（A∪D）=P（A）+P（D）=0.3+0.4=0.7，（Ⅱ）他乘轮船来的概率是P（B）=0.2，则他不乘轮船的概率为，（Ⅲ）由于0.4=P（D），所以他可能是乘飞机来的．点评：本题考查互斥事件的概率加法公式的运用，注意对立事件与互斥事件的区别与联系即可． 19．（14分）（2022•惠州二模）设函数的图象关于原点对称，f（x）的图象在点P（1，m）处的切线的斜率为﹣6，且当x=2时f（x）有极值．（Ⅰ）求a、b、c、d的值；（Ⅱ）求f（x）的所有极值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：（I）欲求实数a、b、c、d的值，利用在x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）把（1）求出的实数a、b、c、d的值代入导函数中确定出解析式，令导函数等于0求出x的值，根据x的值分区间讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间，得到函数的极大值和极小值．解答：解：（Ⅰ）由函数f（x）的图象关于原点对称，得f（﹣x）=﹣f（x）∴，∴b=0，d=0．∴，∴f'（x）=ax2+4c．∴，即．∴a=2，c=﹣2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴f'（x）=2x2﹣8=2（x2﹣4）．由f（x）＞0，得x2﹣4＞0，∴x＞2或x＜﹣2．x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，+∞）f'（x）﹣0+0﹣f（x）↘极小↗极大↘∴．点评：11此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性并根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题． 20．（14分）（2022•惠州二模）已知圆C1：x2+y2=2和圆C2，直线l与C1切于点M（1，1），圆C2的圆心在射线2x﹣y=0（x≥0）上，且C2经过坐标原点，如C2被l截得弦长为．（1）求直线l的方程；（2）求圆C2的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题．分析：（1）欲求切线的方程，关键是求出切线的斜率，由直线OM的斜率可得切线l的斜率，最后利用点斜式写出直线l的方程．（2）先根据圆C2的圆心在射线2x﹣y=0（x≥0）上，故设圆C2的圆心（a，2a），（a＞0）．C2经过坐标原点，可设圆C2的方程设为：（x﹣a）2+（y﹣2a）2=5a2，利用数形结合求得C2被l截得弦长建立关于a的方程，从而求得a值即得．解答：解：（1）直线OM的斜率为：=1，∴切线l的斜率k=﹣1，直线l的方程：y﹣1=﹣（x﹣1）即x+y﹣2=0．即为直线l的方程．（2）∵圆C2的圆心在射线2x﹣y=0（x≥0）上∴设圆C2的圆心（a，2a），（a＞0）．且C2经过坐标原点，∴圆C2的方程设为：（x﹣a）2+（y﹣2a）2=5a2，圆心（a，2a）到直线l的距离为：d=∴C2被l截得弦长为：2×=，即⇒a=2或a=﹣14（负值舍去）∴圆C2的方程：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20．点评：本小题主要考查直线和圆的位置关系、直线和圆的方程的应用、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 21．（14分）（2022•惠州二模）已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn+bn=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn}是等比数列；（3）记cn=an•bn，求{cn}的前n项和Sn．考点：等差数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；压轴题．（1）设an的公差为d，根据等差数列通项公式根据a2=6，a5=18可求得a1和d，进而可求得数列{an11分析：}的通项公式；（2）先看当n≥2时根据Tn﹣Tn﹣1=bn，可得bn与bn﹣1的关系式整理的，进而可知为等比数列，最后验证n=1时，也成立．原式得证．（3）由（2）可求得数列{bn}的通项公式，进而可得{cn}的通项公式．数列{cn}由等差数列和等比数列构成，进而可用错位将减法求和．解答：解：（1）设an的公差为d，则：a2=a1+d，a5=a1+4d，∵a2=6，a5=18，∴，∴a1=2，d=4．∴an=2+4（n﹣1）=4n﹣2．（2）当n=1时，b1=T1，由，得．当n≥2时，∵，，∴，即∴．bn是以为首项，为公比的等比数列．（3）由（2）可知：．∴=．Sn=c1+c2+…cn﹣1+cn=∴．∴===∴点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和求和问题．当出现由等比数列和等差数列构成的数列求和时，一般采用错位相减法．11
