2022-2022学年广东省广州六中高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2022•山东）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（ ） A．0B．1C．2D．4考点：并集及其运算．分析：根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}∴∴a=4，故选D．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题． 2．（5分）设y1=40.9，y2=80.44，y3=（）﹣1.5，则（ ） A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2考点：幂函数的性质．专题：计算题．分析：先上面的三个数都化成同一个底，再由指数函数的单调性判断大小．解答：解：利用幂的运算性质可得，y1=40.9=21.8，y2=80.44=21.32，y3=（）﹣1.5=21.5，再由y=2x是增函数，知y1＞y3＞y2．故选D．点评：指数式比较大小时，应先将底化相同，再利用单调性比较大小，若不能化为相同，可考虑找中间变量，如0，1来比较． 3．（5分）若m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A．若α∥β，m⊥α，则m⊥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥α C．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α∥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据面面平行的性质，可得A项正确；根据线面垂直的性质定理，可得B项正确；利用线面平行的性质定理，结合面面垂直的判定定理，作辅助平面加以证明可得C项正确；根据面面平行的判定定理，得到D项不正确．解答：解：对于A，如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面，故A正确；对于B，如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故B正确；13\n对于C，过m作平面γ，使γ∩α=n，∵n∥α，m⊂γ且γ∩α=n，∴n∥m，又∵m⊥β，∴n⊥β，结合n⊂α，可得α⊥β，故C正确；对于D，若m∥β，n∥β，m、n⊂α，且m、n是相交直线，则α∥β但是条件中缺少了“m、n是相交直线”这一条，故结论不一定成立，所以D不正确．故选：D点评：本题给出空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的假命题．着重考查了空间线面平行、面面平行的判定与性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，考查了线线、线面、面面平行关系及垂直位置关系的转化，属于中档题． 4．（5分）已知m、n∈R，则＞成立的一个充要条件是（ ） A．m＞0＞nB．n＞m＞0C．mn（m﹣n）＜0D．m＜n＜0考点：不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：由题意m、n∈R，则＞，可将其移项、通分进行等价化简，从而求解．解答：解：∵＞∴﹣＞0∴＞0∴m•n（n﹣m）＞0∴m•n（m﹣n）＜0．故选C．点评：此题主要考查不等关系与不等式之间的关系及必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题． 5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4x，x∈[1，5]，则函数f（x）的值域是（ ） A．[﹣4，+∞）B．[﹣3，5]C．[﹣4，5]D．（﹣4，5]考点：函数的值域．分析：本题为二次函数在特定区间上的值域问题，结合二次函数的图象求解即可．不能直接代两端点．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣4x的对称轴的方程为x=2，∴函数f（x）=x2﹣4x，x∈[1，5]的最小值为f（2）=﹣4，最大值为f（5）=5，∴其值域为[﹣4，5]．故选C点评：本题考查二次函数在特定区间上的值域问题，属基本题． 6．（5分）（2022•惠州模拟）公差不为零的等差数列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{an}的公差等于（ ） A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的性质．专题：计算题．13\n分析：设出数列的公差，利用a1+a2+a5=13，求得a1和d关系同时利用a1、a2、a5成等比数列求得a1和d的另一关系式，联立求得d．解答：解：设数列的公差为d则3a1+5d=13①∵a1、a2、a5成等比数列∴（a1+d）2=a1（a1+4d）②①②联立求得d=2故选B点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．考查了数列的基础知识的应用． 7．（5分）函数f（x）=2x3﹣10x2+37的零点个数是（ ） A．0B．1C．2D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：利用导数先求出函数的极大值和极小值，然后根据极大值，极小值和0的大小关系，去判断函数的零点个数．解答：解：函数的导数为，当x＞或x＜0时，f'（x）＞0，函数单调递增．当时，f'（x）＜0，函数单调递减．所以函数在x=0处取得极大值f（0）=37＞0，在x=时，取得极小值＜0．所以函数f（x）=2x3﹣10x2+37的零点个数是3个．故选D．点评：本题主要考查知识点是根的存在性及根的个数判断、函数的应用，属于基础题． 8．（5分）下列四个说法：①一个单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了解职工的某种情况，决定采取分层抽样的方法．抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的概率为②某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是系统抽样法③其中甲班40人，乙班50人，现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是80分，则这二个班的总平均分刚好是85分．④若a，b，c三个数的方差是2，则a﹣2，b﹣2，c﹣2的方差是0其中正确的个数是（ ） A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用；分层抽样方法．专题：阅读型；概率与统计．分析：①利用分层抽样的定义和统计的知识去判断．②利用系统抽样的定义去判断．③利用平均值的定义计算平均值．④利用方差的定义和公式去计算．解答：13\n解：①根据统计的知识可知，无论采取哪种抽样方法，每个个体在抽样中被抽到的概率都是相同的，所以抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的概率为=，所以①正确．②由于男女生差异比较明显，所以所采用的抽样方法是分层抽样而不是系统抽样，所以②错误．③由甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是80分，则这二个班的总平均分为，所以③错误．④a，b，c与a﹣2，b﹣2，c﹣2满足变量关系为y=x﹣2，由方差的公式可知Dy=D（x﹣2）=Dx=2，所以④错误．所以正确的是①．故选A．点评：本题的考点是利用样本估计总体以及抽样方法的理解和判断，是基础题型． 9．（5分）“﹣1＜k＜1是“直线x﹣y+k=0与圆x2+y2=1相交”的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆．分析：先看当k取何值时，直线x﹣y+k=0与圆x2+y2=1相交，可求得圆心到直线的距离小于半径，可知直线与圆相交，判断出充分性；再看当直线与圆相交时求得圆心到直线的距离小于半径求得k的范围，可知必要性不成立，综合可得答案．解答：解析：当圆心到直线的距离d=＜1，即﹣＜k＜，此时直线与圆相交，所以充分性成立．反之，当直线与圆相交时，d=＜1，|k|＜，﹣＜k＜，不一定﹣1＜k＜1，所以必要性不成立．故选A．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．常借助数形结合的思想，利用圆心到直线的距离来判断其关系． 10．（5分）（2022•宁夏）已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ） A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．专题：作图题；压轴题；数形结合．分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．解答：解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．13\n点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力． 二、填空题：本大题共4小题，满分20分．11．（5分）函数的定义域 （﹣∞，3）∪（3，4） ．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由函数解析式中的对数式的真数大于0，分式的分母不等于0，求解后取交集即可得到原函数的定义域．解答：解：要使原函数有意义，则，解①得：x＜4．解②得：x≠3．所以原函数的定义域为（﹣∞，3）∪（3，4）．故答案为（﹣∞，3）∪（3，4）．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值集合，注意用集合或区间表示，此题是基础题． 12．（5分）若函数是奇函数，则实数m为 m=2 ．考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数性质可得f（﹣1）=﹣f（1），由此可求得m值，然后代入检验即可．解答：解：因为f（x）为奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1），即1﹣m=﹣（﹣1+2），解得m=2，经检验，当m=2时，满足f（﹣x）=﹣f（x），所以m=2，故答案为：2．点评：本题考查函数奇偶性的判断及其应用，属基础题，定义是解决问题的关键，本题采取了特值法求m，注意检验》 13．（5分）点M的直角坐标是，则点M的极坐标为 ．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．13\n专题：计算题．分析：根据点的极坐标与直角坐标的互化公式可得答案．解答：解：极径=2，由cosθ=﹣得极角为，所以点M的极坐标为（2，），故答案为：（2，）．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，熟记相关公式是解决问题的关键． 14．（5分）执行如图的程序框图，输出的A为 2047 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：解答算法框图的问题，要依次执行各个步骤，特别注意循环结构的终止条件，本题中是k＞10就终止循环，因此累加变量累加到值11．于是计算得到结果．解答：解析：该程序框图的功能是求数列{an}的第11项，而数列{an}满足a1=1，an=2an﹣1+1，∵an+1=2an﹣1+2∴{an+1}是以2为公式，以2为首项的等比数列．∴an=2n﹣1，∴a11=211﹣1=2047．故答案为：2047．点评：本题考查了循环结构、流程图的识别、条件框等算法框图的应用，还考查了对多个变量计数变量、累加变量的理解与应用．属于基础题． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．13\n15．（12分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，（1）求区域D的面积（2）设，求z的取值范围；（3）若M（x，y）为D上的动点，试求（x﹣1）2+y2的最小值．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（1）作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图所示的直角梯形OABC及其内部，其中A（，1），B（，2），C（0，2），由梯形面积公式即可算出区域D的面积；（2）将目标函数对应的直线进行平移，可得当x=，y=2时z达到最大值；当x=y=0时z达到最小值．由此即可得到z的取值范围；（3）设N（1，0），可得（x﹣1）2+y2表示N、M两点之间的距离平方值，运动点M可得当M在OA上且MN⊥OA时，MN取到最小值．因此结合点到直线的距离公式，即可算出（x﹣1）2+y2的最小值．解答：（1）由不等式组表示的平面区域，得到四边形ABCO及其内部，其中A（，1），B（，2），C（0，2）∴平面区域D是如图所示的直角梯形OABC，其面积为S=（AB+CO）×BC=（3分）（2）将对应的直线l进行平移，可得当l经过点B时，z达到最大值；当l经过点0时，z达到最小值∴zmax=×+2=4，zmin=0由此可得，z的取值范围是[0，4]﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）设N（1，0），结合M（x，y）为D上的动点，可得（x﹣1）2+y2=|MN|2运动点M，可得当点M与N在直线OA上的射影重合，即MN⊥OA时点M、N的距离最短，此时|MN|==∴|MN|2的最小值为，即（x﹣1）2+y2的最小值是．（12分）13\n点评：本题给出不等式组表示的平面区域，求区域的面积并讨论目标函数的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、点到直线的距离公式和简单的线性规划等知识，属于中档题． 16．（12分）已知（如图）在正三棱柱（底面正三角形，侧棱垂直于底面）ABC﹣A1B1C1中，若AB=AA1=4，点D是AA1的中点，点P是BC1中点（1）证明DP与平面ABC平行．（2）是否存在平面ABC上经过C点的直线与DB垂直，如果存在请证明；若不存在，请说明理由．（3）求四棱锥C1﹣A1B1BD的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）如图所示，取BC得中点M，连接PM，DP．利用三角形的中位线定理可得PM∥CC1，，又AD=，．可得．得到四边形AMPD是平行四边形，于是DP∥AM．利用线面平行的判定定理可得DP∥平面ABC．（2）存在平面ABC上经过C点的直线与DB垂直．取线段AB的中点E，连接CE，由△ABC是正三角形，可得CE⊥AB．由正三棱柱（底面正三角形，侧棱垂直于底面）ABC﹣A1B1C1中，可得侧面ABB1A1⊥底面ABC，利用面面垂直的性质定理可得CE⊥侧面ABB1A1，进而得到CE⊥BD．（3）由（2）可知：CE⊥侧面ABB1A1，而CC1∥平面ABB1A1，可得CE是四棱锥C1﹣A1B1BD的高，利用正△ABC的边长=4，可得高CE=2．利用梯形的面积计算公式可得，再利用四棱锥C1﹣A1B1BD的体积V=即可．解答：证明：（1）如图所示，取BC得中点M，连接PM，DP．∵P是BC1中点，∴PM∥CC1，，又AD=，．13\n∴．∴四边形AMPD是平行四边形，∴DP∥AM．DP⊄平面ABC，AM⊂平面ABC，∴DP∥平面ABC．（2）存在平面ABC上经过C点的直线与DB垂直．证明如下：取线段AB的中点E，连接CE，∵△ABC是正三角形，∴CE⊥AB．由正三棱柱（底面正三角形，侧棱垂直于底面）ABC﹣A1B1C1中，可得侧面ABB1A1⊥底面ABC，∴CE⊥侧面ABB1A1，∴CE⊥BD．（3）由（2）可知：CE⊥侧面ABB1A1，而CC1∥平面ABB1A1，∴CE是四棱锥C1﹣A1B1BD的高，∵正△ABC的边长=4，∴高CE=2．又==12，∴四棱锥C1﹣A1B1BD的体积V===．点评：本题综合考查了正三棱柱的性质、线面平行于垂直的位置关系、面面垂直的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的性质、四棱锥的体积计算公式等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力． 17．（14分）已知g（x）是对数函数，且它的图象恒过点（e，1）．f（x）是二次函数，且不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），且f（0）=3．（1）求g（x）的解析式（2）求f（x）的解析式；（3）求y=f（x）﹣g（x）的单调递减区间．考点：函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）待定系数法：设g（x）=logax，由函数图象过点（e，1），可得方程，解出a即可；（2）待定系数法：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=3可得c，由f（x）＞0的解集是（﹣1，3），可得﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由此可得方程组，解出a，b即可；（3）表示出y=f（x）﹣g（x），求出导数，然后解不等式y′＞0，y′＜0即得单调区间，注意函数定义域；解答：解：（1）设g（x）=logax（a＞0，且a≠1），由g（x）的图象过点（e，1），得1=logae，解得a=e，所以g（x）=lnx；（2）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），13\n由f（0）=3，得c=3，则f（x）=ax2+bx+3，又f（x）＞0的解集是（﹣1，3），所以﹣1、3是方程f（x）=0，即ax2+bx+3=0的两根，所以，解得，所以y=f（x）=﹣x2+2x+3；（3）y=f（x）﹣g（x）=﹣x2+2x+3﹣lnx（x＞0），，对于x＞0恒有y′＜0，所以y=f（x）﹣g（x）的单调递减区间为（0，+∞）．点评：本题考查函数单调性的判断及证明，考查函数解析式的求解及常用方法，属中档题． 18．（14分）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12．圆C：x2+y2+2x﹣4y﹣20=0的圆心为点A．（1）求椭圆G的方程；（2）求△AF1F2面积；（3）求经过点（﹣3，4）且与圆C相切的直线方程；（4）椭圆G是否在圆C的内部，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，求出几何量，即可求出椭圆的方程；（2）确定A的坐标，即可求△AF1F2面积；（3）确定圆的圆心坐标与半径，即可求经过点（﹣3，4）且与圆C相切的直线方程；（4）确定椭圆的顶点（6，0）在圆外，k＜0时，（﹣6，0）在圆Ck外，即可判断椭圆G是否在圆C的内部．解答：解：（1）设椭圆G的方程为：（a＞b＞0），半焦距为c，则，解得，∴b2=a2﹣c2=36﹣27=9所求椭圆G的方程为：；（2）点A的坐标为（﹣1，2），所以；（3）由题意，圆C：x2+y2+2x﹣4y﹣20=0可化为：（x+1）2+（y﹣2）2=25，圆心坐标为（﹣1，2），半径为5，13\n所以经过点（﹣3，4）且与圆C相切的直线方程为x=﹣3，y=4；（4）把点（6，0）代入圆C方程可知道，（6，0）在圆C外，若k＜0，由（﹣6）2+02﹣12k﹣0﹣21=5﹣12k＞0，可知点（﹣6，0）在圆Ck外，∴不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G．点评：本题考查考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，且对于任意n∈N*，Sn+2n是an+1与a1的等差中项．（1）求a2，a3的值；（2）求证数列{an+2n}是等比数列；（3）求的前n项和．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由对于任意n∈N*，Sn+2n是an+1与a1的等差中项，可得，分别令n=1，2即可得出a2，a3；（2）由，可得，（n≥2）．两式相减得，可化为，又，可得数列{an+2n}是以为首项，3公比的等比数列．（3）由（2）可知：，得．可得==1﹣，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）∵对于任意n∈N*，Sn+2n是an+1与a1的等差中项，∴，当n=1时，可得，又a1=1，解得a2=5，当n=2时，可得，解得a3=19．（2）由，可得，（n≥2）．两式相减得，∴，又，13\n∴数列{an+2n}是以为首项，3公比的等比数列．（3）由（2）可知：，得．∴==1﹣，∴的前n项和=．点评：熟练掌握等差数列、等比数列及其前n项和公式、以及可化为等比数列的数列的解法等是解题的关键． 20．（14分）已知x＞0，函数f（x）=﹣x2+2x+t﹣1，g（x）=x+．（1）求过点（1，f（1））与y=f（x）图象相切的直线方程（2）若g（x）=m有零点，求m的取值范围；（3）确定实数t的取值范围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；函数的零点与方程根的关系．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义即可得出切线的斜率f′（1），再利用点斜式即可得到切线的方程；（2）利用导数得到g（x）的极小值即最小值，g（x）=m有零点⇔m≥g（x）min；（3）令h（x）=g（x）﹣f（x），利用导数得出其最小值，g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根⇔h（x）min＜0．解答：解：（1）∵f′（x）=﹣2x+2，∴f′（1）=0．而f（1）=﹣1+2+t﹣1=t，∴过点（1，f（1））与y=f（x）图象相切的直线方程是y﹣t=0．（2）由=，x＞0，令g′（x）=0，解得x=1．解g′（x）＞0，得x＞1，可得g（x）在（1，+∞）上单调递增；解g′（x）＜0，得0＜x＜1，可得g（x）在（0，1）上单调递减．因此当x=1时，g（x）取得极小值即最小值，g（1）=2，∵g（x）=m有零点，∴m的取值范围是[2，+∞）；（3）令h（x）=g（x）﹣f（x）==（x＞0），则==，令h′（x）=0，解得x=1．解h′（x）＞0，得x＞1，可得h（x）在（1，+∞）上单调递增；解h′（x）＜0，得0＜x＜1，可得h（x）在（0，1）上单调递减．因此当x=1时，函数h（x）取得最小值，h（1）=2﹣t，又x→0+时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞．13\n因此当h（1）＜0，即t＞2时，h（x）在x＞0时与x轴由两个交点，即g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义、函数的零点与方程的根等价转化等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．13
