2022-2022学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边于x轴的非负半轴重合，则角215°是（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：象限角、轴线角．专题：计算题．分析：由215°=180°+35°，结合象限角的定义可得结论．解答：解：由题意可得：215°=180°+35°，故角215°是第三象限角，故选C点评：本题考查象限角的概念，属基础题． 2．（5分）数列的一个通项公式可能是（ ） A．（﹣1）nB．（﹣1）nC．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．解答：解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选D点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键． 3．（5分）下列选项中正确的是（ ） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则＞ C．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项A、B、C，利用不等式的性质可得C正确．13\n解答：解：当c=0时，A、B不成立．对于a＞b，由于ab＞0，故有，即，故C正确．对于a＞b，c＞d，当a=2，b=1，c=10，d=1，显然有a﹣c＜b﹣d，故D不正确．故选C．点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题． 4．（5分）（2022•包头一模）已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则cos（a2+a8）的值为（ ） A．B．C．D．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：先利用等差数列的性质求出a5=，进而有a2+a8=，再代入所求即可．解答：解：因为{an}为等差数列，且a1+a5+a9=π，由等差数列的性质；所以有a5=，所以a2+a8=，故cos（a2+a8）=﹣故选A．点评：本题是对等差数列性质以及三角函数值的考查．这一类型题，考查的都是基本功，是基础题． 5．（5分）（2022•天津）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A．，x∈RB．，x∈RC．，x∈RD．，x∈R考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型．分析：根据左加右减的性质先左右平移，再进行ω伸缩变换即可得到答案．解答：解：由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin（2x+）故选C点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平移变换时注意都是对单个的x或y来运作的． 6．（5分）设的值是（ ） A．B．C．D．13\n考点：两角和与差的正切函数；角的变换、收缩变换．专题：计算题．分析：由于==，代入可求解答：解：====故选B点评：本题主要考查了两角差的正切公式在三角求值中的应用，解题的关键是利用拆角技巧． 7．（5分）（2022•北京模拟）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（ ） A．B．C．D．考点：向量的线性运算性质及几何意义；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据三角形中线的性质，得=（+），由平面向量减法得=﹣，两式联解即可得到=﹣+，得到本题答案．解答：解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴=（+）∵=﹣，∴=（﹣﹣）=﹣+故选：A13\n点评：本题给出三角形的中线，求向量的线性表示，着重考查了向量的减法及其几何意义、向量的线性运算性质及几何意义等知识，属于基础题． 8．（5分）若非零向量，满足||=||，（2+）•=0，则与的夹角为（ ） A．30°B．60°C．120°D．150°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：由题意，可先由条件|，（2+）•=0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件||=||，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项解答：解：由题意（2+）•=0∴2•+=0，即2||||cos＜，＞+=0又||=||∴cos＜，＞=﹣，又0＜＜，＞＜π∴则与的夹角为120°故选C点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角，利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式，能从题设中得到两向量的模与两向量内积，从而得到夹角的余弦值 9．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（ ） A．10B．﹣10C．14D．﹣14考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a、b即可．解答：解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是即方程ax2+bx+2=0的解为故a=﹣12b=﹣2∴点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，一元二次不等式的解法，是基础题． 13\n10．（5分）如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，若点Bn的坐标为（n，0）（n≥2，n∈N*），记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2+a3+a4+…+a20=（ ） A．256B．428C．836D．1024考点：函数的图象．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：由点Bn的坐标可得点Cn的坐标，进而得到Dn坐标，从而可表示出矩形的周长an，再由等差数列的求和公式可求得答案．解答：解：由点Bn的坐标为（n，0），得Cn（n，n+），令x+=n+，即x2﹣（n+）x+1=0，解得x=n或x=，所以Dn（，n+），所以矩形AnBnCnDn的周长an=2（n﹣）+2（n+）=4n，则a2+a3+…+a20=4（2+3+…+20）=4×=836．故选C．点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，考查学生的识图用图能力，属中档题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）不等式的解集是 [﹣4，5） （结果用集合或区间形式表示）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式可得，由此解得不等式的解集．解答：解：由不等式可得，解得﹣4≤x＜5，故不等式的解集为[﹣4，5），故答案为[﹣4，5）．点评：本题主要考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．13\n 12．（5分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=，∠C=，则△ABC的面积是 ．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由余弦定理列出关系式，将b，c及cosC的值代入求出a的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：∵b=1，c=，cosC=﹣，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得：3=a2+1+a，即（a+2）（a﹣1）=0，解得：a=1，a=﹣2（舍去），则S△ABC=absinC=×1×1×=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣x+3y的最大值是 50 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数z=﹣x+3y的最大值的位置即可求出其最值．解答：解：由题意，可行域如图，由得A（10，20）．目标函数z=﹣x+3y的最大值在点A（10，20）出取到，故目标函数z=﹣x+3y的最大值是50．故答案为：50．13\n点评：本题考查简单线性规划求最值，其步骤是作出可行域，判断最优解，求最值，属于基本题． 14．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是 4 ．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，根据ab的范围，求得答案．解答：解：∵是3a与3b的等比中项∴3a•3b=3a+b=3∴a+b=1∴ab≤=（当a=b时等号成立）∴+==≥4．故答案为：4点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时要注意等号成立的条件． 三、解答题（共6小题，共80分）15．（12分）已知向量=（sinθ，cosθ），=（1，1）．（1）若∥，求tanθ的值；（2）若||=||，且0＜θ＜π，求角θ的大小．考点：平面向量的综合题．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量共线的条件，建立方程，即可求tanθ的值；13\n（2）根据||=||，利用模长公式，结合角的范围，即可得到结论．解答：解：（1）∵=（sinθ，cosθ），=（1，1），∥，∴sinθ=cosθ∴tanθ==；（2）∵||=||，∴（sinθ）2+（cosθ）2=2∴cos2θ=∴cosθ=±∵0＜θ＜π，∴θ=或．点评：本题考查向量知识，考查向量共线定理，考查向量模的计算，考查学生的计算能力，属于中档题． 16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜．（1）若coscosφ﹣sinsinφ=0，求φ的值；（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式，并求函数f（x）在R上的单调递增区间．考点：两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用特殊角的三角函数以及两角和与差公式化简为cos（+Φ）=0，即可求出φ的值．（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式，再由正弦函数的单调性求得递增区间．解答：解：（1）coscosφ﹣sinsinφ=cos（+φ）=0∵|φ|＜．∴φ=（2）由（1）得，f（x）=sin（ωx+）依题意，=又∵T=故ω=3，∴f（x）=sin（3x+）13\n2kπ﹣≤3x+≤2kπ+（k∈Z）⇒﹣≤x≤kπ+（k∈Z）∴函数f（x）在R上的单调递增区间为[﹣，kπ+]（k∈Z）点评：本题是中档题，考查三角函数的字母变量的求法，三角函数的单调性，考查计算能力，是常考题． 17．（14分）如图，已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P（m，）．（1）求实数m的值；（2）求的值．考点：运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：（1）根据P点在单位圆上，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；（2）由点P坐标求出sinα与cosα的值，所求式子利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，将sinα与cosα的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）根据题意得：=1，且m＜0，解得：m=﹣；（2）∵sinα=，cosα=﹣，∴原式====．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键． 18．（14分）已知{an}是公差为2的等差数列，且a3+1是al+1与a7+1的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；13\n（2）令bn=，求数列{b}的前n项和Tn．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由{an}是公差为2的等差数列，a3+1是al+1与a7+1的等比中项，知，解得a1=3，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由==，知，由此利用错位相减法能够求出数列{b}的前n项和Tn．解答：解：（1）∵{an}是公差为2的等差数列，∴a3=a1+4，a7=a1+12，∵且a3+1是al+1与a7+1的等比中项，∴（a3+1）2=（a1+1）（a7+1），∴，解得a1=3，∴an=3+2（n﹣1），∴an=2n+1．（2）==，∴，①∴=，②①﹣②，得=1+=﹣=2﹣﹣，∴．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用． 19．（14分）（2022•钟祥市模拟）某观测站C在城A的南20°西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40°东，在C处测得距C为31千米的公路上B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？13\n考点：解三角形的实际应用；函数模型的选择与应用．专题：计算题．分析：根据题意可分别求得BC，BD，CD和∠CAB，设∠ACD=α，∠CDB=β．在△CDB中利用余弦定理求得cosβ的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinβ的值，进而利用sinα=sin（β﹣20°﹣40°）利用两角和公式展开，最后在△ACD中，由正弦定理得答案．解答：解：根据题意得，BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．设∠ACD=α，∠CDB=β．在△CDB中，由余弦定理得，于是．sinα=sin（β﹣20°﹣40°）=sin（β﹣60°）=．在△ACD中，由正弦定理得．答：此人还得走15千米到达A城．点评：本题主要考查了解三角形问题的问题．考查了学生综合运用所学知识解决实际问题的能力． 20．（14分）（2022•门头沟区一模）已知数列{An}的前n项和为Sn，a1=1，满足下列条件①∀n∈N*，an≠0；②点Pn（an，Sn）在函数f（x）=的图象上；（I）求数列{an}的通项an及前n项和Sn；（II）求证：0≤|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|＜1．13\n考点：数列的极限；数列的函数特性．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）由题意，当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1，由此可得两递推式，分情况可判断数列{an}为等比数列或等差数列，从而可求得通项an，进而求得Sn；（II）分情况讨论：当当an+an﹣1=0时，，计算可得|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=，从而易得|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|的值；当an﹣an﹣1﹣1=0时，，利用两点间距离公式可求得|Pn+1Pn+2|，|PnPn+1|，对|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|化简后，再放缩即可证明结论；解答：（I）解：由题意，当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1=，整理，得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，又∀n∈N*，an≠0，所以an+an﹣1=0或an﹣an﹣1﹣1=0，当an+an﹣1=0时，a1=1，，得，；当an﹣an﹣1﹣1=0时，a1=1，an﹣an﹣1=1，得an=n，．（II）证明：当an+an﹣1=0时，，|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=，所以|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|=0，当an﹣an﹣1﹣1=0时，，|Pn+1Pn+2|=，|PnPn+1|=，|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|=﹣=13\n=，因为＞n+2，＞n+1，所以0＜＜1，综上0≤|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|＜1．点评：本题考查数列与函数的综合，考查分类讨论思想，解决本题的关键是利用an与Sn的关系先求得an．13
