江苏省海安中学2022~2022学年度第二学期高二年级数学检测（6月）I试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。1.已知集合，则_________。2.如果复数是实数，则实数_________。3.已知，则的值为_________。4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标，则点P在直线上的概率为_________。5.已知函数，则的值为_________。6.执行下边的程序框图，若，则输出的_________。7.直线平分圆的周长，则__________。8.等比数列的各项均为正数，，前三项的和为21，则__________。129.已知实数满足，若在处取得最小值，则此时__________。10.在R上定义运算⊙：⊙，则满足⊙的实数的取值范围是__________。11.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D为斜边BC的中点，则的值为__________。12.已知函数，则该函数的值域为__________。13.把数列的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则可记为__________。14.如图放置的边长为1的正三角形PAB沿轴滚动，设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积记为S，则S=__________。二、解答题：本大题共6小题，共计90分。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本小题满分14分）12在△ABC中，AB=，BC=1，。（1）求的值；（2）求的值。16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD。17.（本小题满分14分）如图，在半径为的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为。（1）写出体积V关于的函数关系式；（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？18.（本小题满分16分）已知函数的定义域为（0，），且，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线和轴的垂线，垂足分别为M、N。（1）求的值；（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值。1219.（本小题满分16分）已知椭圆的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率。（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH⊥轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线轴，连结AQ并延长交直线于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系。20.（本小题满分16分）已知等差数列中，，令，数列的前项和为。（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得，，12成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。数学II（附加题）21.［选做题］本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。A.［选修4－1：几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC=AB，BC交⊙O于点D。已知BC=4，AD=6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长。B.［选修4－2：矩阵与变换］（本小题满分10分）已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A。C.［选修4－4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆C的极坐标方程：，判断直线和⊙C的位置关系。D.［选修4－5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知是正数，证明：。［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4，求二面角的余弦值。1223.(本小题满分10分)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球。（1）求取出的4个球均为黑球的概率；（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列，并求其数学期望E（）。12【试题答案】数学I试题一、填空题：1.2.－13.4.5.26.7.－58.1689.（－1，0）10.（－2，1）11.1812.［1，2］13.（10，495）14.二、解答题15.解：（1）在△ABC中，∵，∴由正弦定理得：，即，∴。（7分）（2）由余弦定理可得：（舍）。∴。（14分）16.证明：（1）AD⊥平面ABE，AE平面ABE，∴AD⊥AE，在矩形ABCD中，有AD∥BC，∴BC⊥AE。∵BF⊥平面ACE，AE平面ABE，∴BF⊥AE，又∵BFBC=B，BF，BC平面BCE，∴AE⊥平面BCE。（7分）（2）设ACBD=H，连接HF，则H为AC的中点。∵BF⊥平面ACE，CE平面ABE，∴BF⊥CE，又因为AE=EB=BC，所以F为CE上的中点。在△AEC中，FH为△AEC的中位线，则FH∥AE又∵AE平面BFE，而FH平面BFE∴AE∥平面BFD。（14分）1217.解：（1）连结OB，∵，∴，设圆柱底面半径为，则，即，所以其中。（7分）（2）由，得因此在（0，）上是增函数，在（，30）上是减函数。所以当时，V有最大值。（14分）当且仅当，即时取等号，故四边形OMPN面积的最小值。（16分）19.解：（1）因为椭圆经过点（0，1），所以，又椭圆的离心率得，12即，由得，所以，故所求椭圆方程为。（6分）（2）设，则，设，∵HP=PQ，∴即，将代入得，所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上。又A（－2，0），直线AQ的方程为，令，则，又B（2，0），N为MB的中点，∴，，∴，∴，∴直线QN与圆O相切。（16分）20.解：（1）设数列的公差为，由，。解得，，∴。（4分）（2）∵，，∴∴∴。（8分）（3）由（2）知，，∴，，，∵，，成等比数列，∴，即12当时，，，符合题意；当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；当时，，则，而，所以，此时不存在正整数，且，使得，，成等比数列。综上，存在正整数，且，使得，，成等比数列。（16分）数学II（附加题）21.［选做题］A.［选修4－1：几何证明选讲］解：AB=AC=∴，则∴DE=2∴四边形ABDE的周长B.［选修4－2：矩阵与变换］解：设则12∴∴C.［选修4－4：坐标系与参数方程］解：直线消去参数，得直线的直角坐标方程为；即，两边同乘以得，得⊙C的直角坐标方程为：，圆心C到直线的距离，所以直线和⊙C相交。D.［选修4－5：不等式选讲］证明：∵，又均为正整数，∴。22.［必做题］证明：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（－2，4，0），D（－2，0，0），P（0，0，4），易证为面PAC的法向量，则设面PBC的法向量，12，所以所以面PBC的法向量∴因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，所以二面角B－PC－A的余弦值为。12
