泰州二中2022-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.写出命题“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题：▲.2．函数已知时取得极值，则=▲.3.命题“对所有的正数x，x>x-1”的否定是▲.4.命题“使x为31的约数”是▲命题.（从“真”和“假”中选择一个填空）5.“三角函数是周期函数，y＝sinx，x∈是三角函数，所以y＝sinx，x∈是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是▲．(1)推理完全正确；(2)大前提不正确；(3)小前提不正确；(4)推理形式不正确．6.“a=b”是“a=b”的▲条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填空）7．设是函数的导函数，已知在R上的图象（如图），若，则的取值范围是▲8.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲.9.在平面上，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为1：2，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积的比为▲10.过曲线f(x)=-x3+3x的点A(2,-2)的切线方程▲11．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋32＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据规律，第五个等式为▲12.已知为偶函数，曲线，。若曲线有斜率为0的切线，则实数的取值范围为▲13.已知函数在区间内，既有极大也有极小值，则实数的取值范围是 ▲ ．14．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2022∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是___▲_____．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本题满分14分）（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.（2）已知试用分析法证明：.16．（本题满分14分）已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当x∈[，2]时，函数f(x)＝x＋＞恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题.求c的取值范围.17．（本题满分14分）8\n已知函数,若,有极值，且曲线在点(1,)处的切线斜率为3.（1）求函数的解析式；（2）求在[－4，1]上的最大值和最小值。（3）函数有三个零点，求实数的取值范围.18.（本题满分16分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（0＜＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？（2）年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？19．（本题满分16分）在计算“”时，先改写第k项：由此得……相加，得（1）类比上述方法，请你计算“”的结果；(2)试用数学归纳法证明你得到的等式.20.（本题满分16分）定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；（Ⅱ）设P（是函数f（x）图象上任意两点，且0<<，若存在实数>0，使得．请结合（I）中的结论证明：8\n江苏省泰州二中2022－2022学年度第二学期高二数学(理科)期中考试试卷命题：杨华审核：周干清一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填在答题卡相应的位置上.1.写出命题“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题：▲.若ab0,则a02．函数已知时取得极值，则=▲.53.命题“对所有的正数x，x>x-1”的否定是▲.存在正数x，x≤x-14.命题“使x为31的约数”是▲命题.（从“真”和“假”中选择一个填空）真5.“三角函数是周期函数，y＝sinx，x∈是三角函数，所以y＝sinx，x∈是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是▲．(3)(1)推理完全正确；(2)大前提不正确；(3)小前提不正确；(4)推理形式不正确．.6.“a=b”是“a=b”的▲条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填空）必要不充分7．设是函数的导函数，已知在R上的图象（如图），若，则的取值范围是▲_____________8.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲.9.在平面上，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为1：2，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积的比为1:810.过曲线f(x)=-x3+3x的点A(2,-2)的切线方程▲或11．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋32＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据规律，第五个等式为▲13＋23＋33＋43＋53＋63＝21212.已知为偶函数，曲线，。若曲线有斜率为0的切线，则实数的取值范围为▲_____________8\n13.已知函数在区间内，既有极大也有极小值，则实数的取值范围是 ▲ ．14．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2022∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是________．①③④二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本题满分14分）（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.（2）已知试用分析法证明：.【答案】（（1）证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即均小于60°，则三内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾，故假设不成立.原命题成立.（2）证明：要证上式成立，需证只需证1>0因为1>0显然成立，所以原命题成立.16．（本题满分14分）已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当x∈[，2]时，函数f(x)＝x＋＞恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题.求c的取值范围.【答案】由命题p知：0＜c＜1.要使此式恒成立，则2＞，即c＞.又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，当p为真，q为假时，c的取值范围为0＜c≤.8\n当p为假，q为真时，c≥1.综上，c的取值范围为{c|0＜c≤或c≥1}.17．（本题满分14分）已知函数,若,有极值，且曲线在点(1,)处的切线斜率为3.（1）求函数的解析式；（2）求在[－4，1]上的最大值和最小值。（3）函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】解：（1）由题意，得所以，（2）由（1）知令x－4（－4，－2）－2（－2，）（，1）1+0－0+↗极大值↘极小值↗函数值－-11134上的最大值为13，最小值为－11。（3）18.（本题满分16分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.8\n本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（0＜＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？（2）年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），因此本年度的利润为即：由，得（2）本年度的利润为则由当是增函数；当是减函数.∴当时，万元，因为在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．19．（本题满分16分）在计算“”时，先改写第k项：由此得……8\n相加，得（1）类比上述方法，请你计算“”的结果；(2)试用数学归纳法证明你得到的等式.【答案】见解析【解析】本试题主要是考查了类比推理的运用，以及数学归纳法的综合运用。（1）根据已知的条件和结论，分析观察可知道所求的表达式的结论。（2）运用数学归纳法证明时，注意两步骤的运用尤其是假设一定要用上，否则证明的结论就是错误的。(1)先改写第k项：由此得…相加，得(2)证：当时,左边=，右边当时等式成立假设当时,成立，那么,当时,即当时,等式也成立由(1),(2)可知，对一切自然数成立20.（本题满分16分）定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；（Ⅱ）设P（是函数f（x）图象上任意两点，且0<<8\n，若存在实数>0，使得．请结合（I）中的结论证明：【答案】（Ⅰ）要证明结论即证.构造函数令，则，分析最值得到结论。再令分析最值得到结论综上可知故对任意，恒有成立，即直线是与的“左同旁切线”（Ⅱ）因为根据已知函数，得到导函数，所以，所以.8
