2020-2021学年上海某校高一（上）期末数学试卷（加试）一、填空题（前三题每题6分，后三题每题8分，共42分）)1.设集合＝‸㈱‸݉‸ݔ＝‸，且＝，则实数݉的取值范围是________．2.设，，为正实数，则的最小值为________．3.若函数＝‸‸⸹的解析式为‸‸⸹＝，则ሾ‸‸⸹＝________．4.若函数＝‸‸⸹的解析式为，则‸⸹ݔ‸⸹ݔݔ⸹‸ݔ⸹‸ݔ⸹‸ݔ⸹‸ݔݔ‸⸹＝________．5.所有到之间且分母不大于的最简分数按照从小到大的次序组成一个数列，则的后一项为________．ݔݔ6.已知，为正实数，则的取值范围是________．ݔ二、选择题（每小题8分，共16分）)7.已知ᦙ，则“㈱㈱ܾ”是“㈱㈱ܾ”且㈱㈱ܾ的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件8.已知‸‸⸹＝‸‸ݔ‸ݔ‸䁕ݔ‹‸＝）⸹‸‸（若，式项多为⸹‸‸，‹ݔ൏‸ݔ‹䁕，那么‸‸⸹的各项系数和可能为（）A.䁕B.൏C.D.三、解答题（共3题，共42分）)9.已知为一个给定的实数，函数．（1）若＝，为正实数，利用单调性的定义证明：“ܾ”是“函数在区间‸上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，‸‸ݔ⸹无最小值，求实数的取值范围．10.求证：二次函数＝‸可以表示为两个在上严格增的多项式函数的差．试卷第1页，总5页
11.若数列对任意连续三项，ݔ，ݔ，均有，则称该数列为“跳跃数列”．（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：，，，‹，，…；②等比数列：；（2）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围．试卷第2页，总5页
参考答案与试题解析2020-2021学年上海某校高一（上）期末数学试卷（加试）一、填空题（前三题每题6分，后三题每题8分，共42分）1.2.3.4.‹‹5.6.ሾ⸹二、选择题（每小题8分，共16分）7.B8.A三、解答题（共3题，共42分）9.＝时，＝‸‸⸹＝‸ݔ，（充分性）：若ܾ，设ܾ‸ܾ‸，则‸‸‹⸹‸‸⸹＝＝＝‸‸‸⸹•ᦙ，所以‸‸⸹ᦙ‸‸⸹，故函数在区间‸，（必要性）：若函数在区间‸，设ܾ‸ܾ‸，试卷第3页，总5页
则‸‸⸹‸‸⸹＝＝＝‸‸‸⸹•ᦙ，因为‸‸ܾ，‸‸ᦙ，所以‸‹‸ܾ，所以ܾ，故“‹ܾ”是“函数在区间‸；若函数，‸‸，当ᦙ时，根据对勾函数的性质知时取得最小值；当时，‸‸⸹＝‸ݔ，ݔ⸹上单调递增，符合题意．故．10.证明：对于‸‸⸹＝‸ݔ‸ݔ‸＝⸹‸‸̵∵，ݔ‸ݔ‸ݔ＝+ᦙ恒成立，故‸‸⸹是在上严格增的多项式函数．对于‸‸⸹＝‸ݔ‸＝⸹‸‸̵于由，ݔ‸ݔᦙ恒成立，故‸‸⸹也是在上严格增的多项式函数，显然，二次函数＝‸＝‸‸⸹‸‸⸹，∴二次函数＝‸可以表示为两个在上严格增的多项式函数的差．11.根据“跳跃数列”的定义，得：①等差数列：，，，‹，，…不是跳跃数列；②等比数列：，-，，-，，…是跳跃数列．ݔ＝‸൏⸹，ݔݔ＝（൏⸹‸൏‹⸹，ݔ＝‸䁕⸹‸⸹‸൏⸹，试卷第4页，总5页
①若ݔᦙݔ则，ᦙݔᦙ，此时（，䁕⸹；②若ݔܾݔ则，ܾݔܾ，此时‸，）；若（，⸹ݔ＝‸，），∴‸⸹‸，），则ݔ＝‸，∴‸，），∴‸⸹‸，），此时对任何正整数，均有‸⸹‸‹，）．试卷第5页，总5页
