2020-2021学年上海市某校高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题4分，7-12题每题5分.)1.行列式的值等于________．2.过点(3, 5)与直线y＝x+m垂直的直线方程是________．3.抛物线x2＝2y的焦点到其准线的距离为________．4.双曲线x2-＝2的渐近线方程为________．5.长轴长为6，焦距为，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为________．6.已知复数z满足z(2+i)=3+4i（i是虚数单位），则|z|=________．7.设双曲线的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF2|＝2，且sin∠PF2F1＝λsin∠PF1F2，则λ＝________．8.已知向量＝(3, 4)，＝(cosθ, sinθ)，则|-2|的最大值为________．9.已知实数x，y满足x2+(y-2)2＝4，则的取值范围是________．10.已知点A(1, 2)在抛物线C:y2＝2px(p>0)上，过点B(2, -2)的直线交抛物线C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，则k1×k2等于________．11.设双曲线n2x2-(n+1)2y2＝1(n∈N*)上动点P到定点Q(2, 0)的距离的最小值为dn，则的值为________．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：+＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ的弦AB与CD分别垂直于x轴与y轴，且相交于点P．已知线段PA，PC，PB，试卷第9页，总10页
PD的长分别为2，4，6，12，则△PF1F2的面积为________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得零分.)13.已知向量，，则“”是“x＝-1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设变量x，y满足约束条件y≥xx+3y≤4x≥-2 ，则z＝|x-3y|的最大值为（）A.10B.8C.6D.415.设a，b∈R，ab≠0，则直线ax-y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的大致图形是( )A.B.C.D.16.下面是对曲线C：＝1的一些结论，正确的结论是（）①x的取值范围是[-2, 2]；②曲线C是中心对称图形；试卷第9页，总10页
③曲线C上除点(0, ±1)，(±2, 0)外的其余所有点都在椭圆＝1的内部；④过曲线C上任一点作y轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于π．A.①②④B.②③④C.①②D.①③④三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤.)17.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(2, 0)的距离减去它到y轴距离的差都是2．（1）求曲线C的方程；（2）求曲线C上的点P(x, y)到直线l:x-y+3＝0距离的最小值及此时点P的坐标．18.设复数z＝a+bi(a, b∈R)．（其中i为虚数单位，且i2＝-1）（1）若|z|2-2＝7+4i，求z；（2）若z＝1+2i+3i2+4i3+5i4+...+2020i2019+2021i2020，求a-b的值．19.有一种大型商品，A、B两点都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是B地运费的2倍，已知A、B两地相距10千米，顾客购物的唯-标准是总费用较低，建立适当的平面直角坐标系．（1）求A、B两地的售货区域的分界线的方程；（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．20.已知椭圆C1：＝1与双曲线C2：有共同的焦点F1，F2，且双曲线的实轴长为2．（1）求双曲线C2的标准方程；试卷第9页，总10页
（2）若曲线C1与C2在第一象限的交点为P，求证：∠F1PF2＝90∘．（3）过右焦点F2的直线l与双曲线C2的右支相交于的A，B两点，与椭圆C1交于C，D两点．记△AOB，△COD的面积分别为S1，S2，求的最小值．21.已知椭圆，M(x1, y1)，N(x2, y2)是椭圆上的两个不同的点．（1）若点A(1, 1)满足，求直线MN的方程；（2）若M(x1, y1)，N(x2, y2)的坐标满足x1x2+2y1y2＝0，动点P满足（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；（3）若M，N在直线x-y+m＝0上，是否存在与m无关的定点T(x0, y0)，使得直线TM，TN的斜率之和为一个定值？若存在，求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第9页，总10页
参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题4分，7-12题每题5分.1.02.x+y-8＝03.14.y＝±2x5.6.57.48.79.[-1, 3]10.-411.12.4二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.B14.B15.B16.C三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤.17.设：曲线C(x, y)，C上每一点到点F(2, 0)的距离减去它到y轴距离的差都是2．可得，化简整理可得：y2＝8x．，∴y＝4，即P(2, 4)时，．试卷第9页，总10页
18.由已知可得，a2+b2-2a+2bi＝7+4i，∴，解之得，或，∴z＝3+2i或z＝-1+2i由复数相等的性质，可知，．∴a-b＝2021．另z＝1+2i+3i2+4i3+5i4+...+2020i2019+2021i2020①∴zi＝1i+2i2+3i3+4i4+5i5+...+2020i2020+2021i2021②∴①-②得：z(1-i)＝1+i+i2+i3+i4+...+i2020-2021i2021＝1-2020i∴，∴a＝1011，b＝-1010，∴a-b＝2021．19.以线段AB的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每单位距离B地的运费为a元，设售货区域内一点为(x，则A(-5, 0)，3)，则2a，化简可得：3x3+3y2+50x+75＝7，即(x+）2+y6＝，故A、B两地的售货区域的分界线的方程为：即(x+）2+y2＝，试卷第9页，总10页
由（1）知A，B两地购货区域的分界线是以C(-，为半径的圆，所以在圆C上的居民从A，B两地购货总费用相等，在圆C外的居民从B地购货便宜．20.由已知可得，，解之得，双曲线C2的标准方程为．证明：联立方程组，解之得，所以点，，，，，∴∠F1PF2＝90∘．当直线l的斜率不存在时，，|CD|＝1，此时，当直线l的斜率存在时，设方程为，C(x1, y1)，D(x2, y2)，代入椭圆方程得，x1+x2＝，x1x2＝，试卷第9页，总10页
由弦长公式得|CD|＝＝＝，把直线方程代入双曲线方程得，所以，∴，综上可知，的最小值为．21.由已知可得，A(1, 1)是线段MN中点，所以，由已知，，两式相减化简整理得，试卷第9页，总10页
所以，直线MN的方程是x+2y-3＝0．设P(x0, y0)，M(x1, y1)，N(x2, y2)，由，可得，由x1x2+2y1y2＝0②，结合①②可得，，又M，N是椭圆上的点，故，所以，即．根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆．假设存在定点T(x0, y0)满足题意，联立方程组消去y得，3x2+4mx+2m2-4＝0，所以△>0，即m2<6且，所以＝＝，要使kAT+kBT为与m无关的常数，只能试卷第9页，总10页
，解之得或．此时kMT+kNT＝0为与m无关的常数，综上所述，存在定点或，使得直线TM，TN的斜率之和为一个定值0．试卷第9页，总10页
