2020-2021学年上海市某校高一（上）期末数学试卷一、填空题)1.函数＝的定义域为________．2.已知集合，＝ㄠ㠸ㄠthth，则＝________．3.已知函数知ㄠ数＝知htt数ㄠ，若函数在知t数严格增函数，则实数的取值范围是________．4.函数知ㄠ数＝知t数ㄠhtㄠth的单调递增区间为________．h5.对于任意实数，函数知ㄮ‶且t数的图象经过一个定点，则该定点的坐标是________．6.如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为t距离为，双翼的边缘＝＝㤵离为，且与闸机侧立面夹角＝ᦙ＝‶，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为‶离为．7.已知函数知ㄠ数＝ㄠh知ㄠ‶数，则＝知ㄠ数的反函数为________．8.已知、都是正数，且知t数知h数＝t距，则的最小值为________．9.已知log＝，＝，则用、的代数式表示log距t‶＝________．10.当㠸lg㠸＝㠸lg㠸，时，则的取值范围是________．11.如图所示，已知函数知ㄠ数＝logh㤵ㄠ图象上的两点、和函数知ㄠ数＝loghㄠ上的点，线段平行于轴，三角形为正三角形时，设点的坐标为知坐数，则试卷第1页，总9页
的值为________．12.已知函数，函数知ㄠ数＝t知htㄠ数，如果＝知ㄠ数t知ㄠ数恰好有两个零点，则实数的取值范围是________．二、选择题)lg㠸ㄠ㠸13.函数知ㄠ数的大致图象为（）ㄠhA.B.C.D.14.若函数是偶函数，则实数的值是（）A.ttB.‶C.tD.不唯一15.已知cost‶＝为，则tant‶的值为（）A.B.C.D.16.已知为，函数的值域是ttt，有下列结论：试卷第2页，总9页
①当＝‶时，；②当时，为知h；③当时，为th；④当时，．其中正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.③④三、解答题)17.（1）已知，求的值；17.（2）已知，求sinhsincostcosh的值．18.设函数是上的奇函数．（1）求的值，并求函数知ㄠ数的反函数tt知ㄠ数解析式；（2）若为正实数，解关于ㄠ的不等式．19.某校数学建模小组研究发现：在㤵‶分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标与学生听课时间（单位：分钟）之间的函数关系为．（1）在上课期间的前t分钟内（包括第t分钟），求注意力的最大指标；（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于‶时，学生的学习效果最佳，现有一节㤵‶分钟课，其核心内容为连续的h‶分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？20.已知幂函数是奇函数，且知ㄠ数在知‶数为严格增函数．（1）求为的值，并确定知ㄠ数的解析式；（2）求h知ㄠ数，的最值，并求出取得最值时的ㄠ取值．21.已知函数知ㄠ数＝hㄠ知ㄠ数，记知ㄠ数＝知ㄠ数t知tㄠ数．（1）解不等式：知hㄠ数th知ㄠ数；试卷第3页，总9页
（2）设为实数，若存在实数ㄠ知th，使得知hㄠ数＝h知ㄠ数tt成立，求的‶‶‶取值范围；（3）记知ㄠ数＝知hㄠh数知ㄠ数（其中、均为实数），若对于任意的ㄠ‶t，均有㠸知ㄠ数㠸，求、的值．试卷第4页，总9页
参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高一（上）期末数学试卷一、填空题1.知th‶h‶2.‶h数3.t4.知th5.6.‶．7.8.9.10.知㤵数11.㤵12.二、选择题13.D14.C15.B16.D试卷第5页，总9页
三、解答题17.因为＝＝ttan，所以＝ttan；因为，所以sinhsincostcosh＝＝＝＝．18.因为函数是上的奇函数．所以知‶数＝，解得＝，设＝知ㄠ数＝，则，所以，所以函数知ㄠ数的反函数，ㄠ知tt；由，可得，t数，则，所以，所以ttㄠ，①若t距ttt，即hh，t数，②若ttt，即h，距数．试卷第6页，总9页
19.当‶t时，＝-，∴当＝-＝th时，最大值为h；当‶t时，令＝-h距㤵距‶，解得tht，∴tht距，t，当t㤵‶时，令tlog知t数‶，解得h，h，∴thth，h，∵ht知thth）＝h‶，∴教师能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内．20.∵幂函数是奇函数，数为严格增函数，∴th为h为为奇数，且th为h为ㄮ‶，求得tt为，且th为为为奇数．∴为＝‶，知ㄠ数＝ㄠ距．令logh知ㄠ数＝＝，∵，∴t，函数知ㄠ数＝-＝loghh知ㄠ数＝log知ㄠ数loghh＝t＝+，故当＝-时，即ㄠ＝时，当＝时，即ㄠ＝距时．21.因为函数知ㄠ数＝hㄠ知ㄠ数，所以不等式知hㄠ数t知ㄠ数，即为hㄠthㄠt距距，即知hㄠh数知ㄠt数‶，解得hㄠ，所以ㄠlog，故不等式知hㄠ数t知ㄠ数的解集为知tlogh；试卷第7页，总9页
存在实数ㄠ知th数＝h知ㄠ数tt成立，‶‶㤵即存在实数ㄠ‶知h成立，令，因为在知，所以，又，则有存在实数，使得，则，设，，即有在上单调递增，所以，故的取值范围为；知ㄠ数＝知hㄠh数知ㄠ数＝距hㄠhㄠ＝㤵知hㄠ数hㄠ，令＝hㄠ，因为ㄠt，h，所以知数＝距h，因为若对于任意的ㄠ‶h，则对任意㤵h，试卷第8页，总9页
所以，由①②③解得＝tth，＝．试卷第9页，总9页
