2020-2021学年上海某校高二（上）期末数学试卷一、填空题)1.复数的虚部为________．2.直线：，ܽݔݔ＝，若，则ܽ＝________．3.已知变量，满足约束条件ݔ＝则，ݔ的最大值为________．4.若方程ݔݔݔݔ＝有实数根，则实数的取值是________．5.抛物线物的准线方程为________．6.若圆锥底面半径为，高为，则其侧面积为________．7.已知三棱锥ܤ中，＝ܤ＝，ܤ＝ܤ＝＝＝，则三棱锥ܤ的体积是________．8.在北纬东经有一座城市，在北纬东经有一座城市，设地球半径为，则、两地之间的距离是________．9.是双曲线上的一点，，为焦点，若＝，则＝________．10.设复数，满足＝，＝，，则＝________．11.已知异面直线ܽ，所成角为，过空间定点与ܽ，成角的直线共有________条．12.三角形ܤ的边在平面内，ܤ在平面外，ܤ和ܤ分别与面成和的角，且平面ܤ与平面成的二面角，那么ܤ的大小为________．二、选择题)13.设复数＝ܽݔ（其中ܽ、，为虚数单位），则“ܽ＝”是“为纯虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.已知ܽ与ܽ是直线＝ݔ（为常数）上两个不同的点，则关于ܽݔܽ和＝ݔ＝的交点情况是（）A.存在，，使之无交点B.存在，，使之有无穷多交点C.无论，，如何，总是无交点D.无论，，如何，总是唯一交点试卷第1页，总9页,15.平行六面体ܤܤ的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是的________心，点在面ܤ上的射影一定是ܤ的________心．（）A.外心、重心B.内心、垂心C.外心、垂心D.内心、重心16.正方体ܤܤ中，为ܤܤ的中点，在底面ܤ内运动，且满足物ܤ，则点的轨迹为A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分三、解答题)17.直三棱柱ܤܤ中，底面ܤ为等腰直角三角形，ܤ，＝ܤ＝，＝，是侧棱ܤܤ上一点，设ܤ＝．（1）若ܤ，求的值；（2）若＝，求直线与平面所成的角．18.已知方程ݔݔ程＝有两个根，，程．（1）若＝，求实数程的值；（2）若ݔ＝，求实数程的值．19.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图）．其中四边形ܤ为矩形，，和ܤ是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面和ܤ是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和ܤ是全等的三角形，点在平面ܤ和ܤ上射影分别为，，已知物米，ܤ物试卷第2页，总9页,米，梯形的面积是ܤ面积的积倍．设物．求屋顶面积关于的函数关系式；已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为元/米．现欲造一栋上、下总高度为米的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？20.如图，已知长方体ܤܤ，＝，＝，直线与平面所成的角为，垂直于．（1）若为棱上的动点，试确定的位置使得平面ܤ，并说明理由；（2）若为棱上的中点；求点到平面的距离；（3）若为棱上的动点（端点，除外），求二面角的大小的取值范围．21.设曲线是焦点在轴上的椭圆，左、右焦点分别是，，且＝，是曲线上的任意一点，且点到两个焦点距离之和为．（1）求的标准方程；（2）设椭圆上，判断以（为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；（3）设点为曲线上确定的一个点，若直线＝ݔ⸳与曲线交于两点ܤ，ܤ，异于点，且满足，请问直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．试卷第3页，总9页,参考答案与试题解析2020-2021学年上海某校高二（上）期末数学试卷一、填空题1.2.3.4.5.物6.7.8.9.10.11.12.或arccos二、选择题13.B14.D15.C16.A三、解答题17.以为原点，以，ܤ，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，，ܤ，，∴＝，＝，若ܤ，则＝，即＝，∴＝．当＝时，，＝，＝，＝，设平面的法向量为＝，则，即，试卷第4页，总9页,令＝可得＝．∴cos，＝＝＝，设直线与平面所成的角为，则sin＝cos，＝，∴＝．18.因为方程ݔݔ程＝有两个根，，程，则ݔ＝，＝程，因为＝，所以，即，可得程＝，解得；①当，为两个实根时，＝程，所以，所以，所以，即，所以ݔ程ݔ程＝，解得程＝；②当，为两个共轭虚根时，即时，ݔ＝，即，所以，试卷第5页，总9页,由韦达定理可得，；综上所述，．19.解：由题意知平面ܤ，ܤ，又因为平面ܤ，所以，在中，物，物，所以物，cos因此ܤ的面积为物，coscos从而得屋顶面积为物ܤݔ物ݔ积物，coscoscos所以屋顶面积关于的函数关系式物，；cos在中，物tan，所以主体的高度为物tan，所以物sinݔ物tanݔcoscossin物䁐ݔ，cossin令物，，coscosݔsinsinݔsin则物物，coscos令解得，令解得，sin所以物在上单调递减，在上单调递增，cossin所以当物时，物取得最小值，cos即当物时，总造价最低．20.当时，平面ܤ，证明如下：延长交ܤ于点，因为平面，所以就是直线与平面所成的角，即＝，试卷第6页，总9页,所以＝tan＝，由，所以＝，＝tan＝，在ܤ上取点，使得，连结，，因为，则，又ܤ，所以ܤ是平行四边形，则ܤ，＝，，则是平行四边形，所以，＝＝，所以是平行四边形，所以，所以ܤ，又平面ܤ，ܤ平面ܤ，所以平面ܤ，即平面ܤ；因为，所以，由长方体的性质可得，，所以ݔ＝，所以，所以，设点到平面的距离为，则由＝可得，，所以，故点到平面的距离为；作，垂足为，作于，连结，则平面ܤ，平面ܤ，所以，同理，因为＝，，平面，所以平面，而平面，试卷第7页，总9页,所以，所以是二面角的平面角，设＝，则由是矩形可得＝，＝＝，则＝sin＝，所以，又是锐角，所以，所以二面角的大小的取值范围为．21.由题意可得＝，ܽ＝，所以ܽ＝，＝，＝ܽ＝，所以椭圆的方程为：+＝；由（1）可得右焦点，＝＝，中点ܤ坐标，），圆的半径为＝，椭圆的长轴为直径的圆的圆心ܤ，半径＝，所以圆心距ܤܤ＝＝，所以两个圆内切．设ܤ，，联立直线与椭圆的方程：整理可得：ݔ⸳䁐ݔݔ⸳＝＝⸳ݔ⸳，试卷第8页，总9页,ݔ＝-，＝，＝ݔݔ⸳ݔ⸳＝＝，ݔ＝ݔݔ⸳＝＝，因为，可得＝，所以＝，整理可得：ݔ香香＝，所以ݔ香⸳ݔݔ⸳香＝，所以ݔݔݔ香⸳ݔݔ⸳香＝，所以ݔݔ）香⸳ݔ•ݔ⸳香＝，所以ݔ香⸳ݔݔ⸳䁐香⸳ݔ⸳ݔ＝，所以⸳ݔݔ香ݔݔ⸳䁐ݔݔ香⸳香＝，又香在上，所以ݔ香＝，所以⸳ݔݔ香ݔ⸳䁐ݔݔ⸳香＝，所以⸳ݔ香⸳䁐ݔ⸳香＝，所以ݔ⸳＝⸳ݔ香，所以ݔ⸳＝⸳ݔ或香ݔ⸳＝⸳ݔ香，当ݔ＝⸳，时香ݔ⸳＝⸳ݔ香，所以方程为＝ݔ香过点香，不满足条件，当ݔ⸳＝⸳ݔ香时，⸳＝--，所以方程为＝）-，过定点（，-），综上可知，直线恒过定点（，-）．试卷第9页，总9页
