精做21带电粒子在电场中的加速、偏转问题1．（2022·北京卷）如图所示，电子由静止开始经加速电场加速后，沿平行于版面的方向射入偏转电场，并从另一侧射出。已知电子质量为m，电荷量为e，加速电场电压为。偏转电场可看作匀强电场，极板间电压为U，极板长度为L，板间距为d。（1）忽略电子所受重力，求电子射入偏转电场时的初速度v0和从电场射出时沿垂直板面方向的偏转距离Δy；（2）分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法。在解决（1）问时忽略了电子所受重力，请利用下列数据分析说明其原因。已知，，，，。（3）极板间既有静电场也有重力场。电势反映了静电场各点的能的性质，请写出电势的定义式。类比电势的定义方法，在重力场中建立“重力势”的概念，并简要说明电势和“重力势”的共同特点。【答案】（1）（2）由于，因此不需要考虑电子所受重力（3）电势和重力势都是反映场的能的性质的物理量，仅由场自身的因素决定【解析】（1）根据功和能的关系，有电子射入偏转电场的初速度在偏转电场中，电子的运动时间偏转距离18\n（3）电场中某点电势定义为电荷在该点的电势能与其电荷量q的比值，即由于重力做功与路径无关，可以类比静电场电势的定义，将重力场中物体在某点的重力势能与其质量m的比值，叫做“重力势”，即电势和重力势都是反映场的能的性质的物理量，仅由场自身的因素决定【方法技巧】带电粒子在电场中偏转问题，首先要对带电粒子在这两种情况下进行正确的受力分析，确定粒子的运动类型。解决带电粒子垂直射入电场的类型的题，应用平抛运动的规律进行求解。此类型的题要注意是否要考虑带电粒子的重力，原则是：除有说明或暗示外，对基本粒子（例如电子，质子、α粒子、离子等）一般不考虑重力；对带电微粒（如液滴、油滴、小球、尘埃等）一般要考虑重力。2．（2022·新课标全国Ⅱ卷）如图所示，一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°。不计重力。求A、B两点间的电势差。【答案】【解析】设带电粒子在B点的速度大小为vB，粒子在垂直于电场方向的速度分量不变即vBsin30°=v0sin60°由此得18\n设A、B两点间的电热差为UAB，由动能定理有：解得3．（2022·安徽卷）在xOy平面内，有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E（图中未画出），由A点斜射出一质量为m，带电荷量为+q的粒子，B和C是粒子运动轨迹上的两点，如图所示，其中l0为常数。粒子所受重力忽略不计。求：（1）粒子从A到C过程中电场力对它做的功；（2）粒子从A到C过程所经历的时间；（3）粒子经过C点时的速率。【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（3）粒子在DC段做平抛运动，于是有，18\n【规律总结】电场力做功与路径无关；抛体运动用正交分解法分解到水平和竖直两个方向来做，加上电场就是多了个电场力，再由牛顿第二定律求加速度；平抛运动就是水平和竖直两个方向，先分解再合成。4．如图所示，虚线MN左侧有一场强为E1=E的匀强电场，在两条平行的虚线MN和PQ之间存在着宽为L、电场强度为E2=2E的匀强电场，在虚线PQ右侧相距为L处有一与电场E2平行的屏。现将一电子（电荷量为e，质量为m）无初速度地放入电场E1中的A点，最后电子打在右侧的屏上，AO连线与屏垂直，垂足为O，电子重力忽略不计。求：（1）电子从释放到打到屏上所用的时间；（2）电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角θ的正切值tanθ；（3）电子打到屏上的点P′到点O的距离y。【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）电子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为，时间为，由牛顿第二定律和运动学公式得：，电子进入电场时的速度为：③进入电场到屏水平方向做匀速直线运动，时间为：④电子从释放到打到屏上所用的时间为：⑤联立①→⑤求解得：（2）设粒子射出电场时平行电场方向的速度为，由牛顿第二定律得：18\n电子进入电场时的加速度为：⑥⑦⑧电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角的正切值为；⑨联立①②③⑥⑦⑧⑨得：⑩（3）带电粒子在电场中的运动轨迹如图所示：设电子打到屏上的点P到O点的距离y，根据上图有几何关系得：⑪联立⑩⑪得：【名师点睛】本题考查带电粒子在电场中的加速和偏转，明确受力情况，根据力与运动关系找出运动规律即可求解。5．如图所示，两平行金属板A、B长L=8cm，两板间距离d=8cm，A板比B板电势高300V，一不计重力的带正电的粒子电荷量q=10–10C，质量m=10–20kg，沿电场中心线RD垂直电场线飞入电场，初速度v0=2×106m/s，粒子飞出平行板电场后可进入界面MN、PS间的无电场区域。已知两界面MN、PS相距为12cm，D是中心线RD与界面PS的交点。（1）粒子穿过MN时偏离中心线RD的距离以及速度大小？18\n（2）粒子到达PS界面时离D点的距离为多少？（3）设O为RD延长线上的某一点，我们可以在O点固定一负点电荷，使粒子恰好可以绕O点做匀速圆周运动，求在O点固定的负点电荷的电量为多少？（静电力常数k=9.0×109N·m2/C2，保留两位有效数字）【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）粒子进入A、B后应做类平抛运动，设在A、B板间运动时加速度大小为a，时间为t1，在MN界面处速度为v，沿MN的分速度为vy，偏转位移为y，v与水平夹角为α，运动轨迹如图则：①②③④⑤由以上各式，代入数据求得：，，故粒子通过MN界面时的速度为：18\n（3）粒子穿过界面PS后将绕电荷Q做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为r，由几何关系得：，即由得：【名师点睛】（1）由类平抛知识，带入数值便可求出偏离RD的距离；带电粒子在离开电场后将做匀速直线运动，求出时间即可知道aD的距离；（2）库仑力提供向心力，根据牛顿第二定律联合即可求得电量及其电性。6．如图所示，质量为m，电荷量为e的电子，从A点以速度v0垂直于电场方向射入一个电场强度为E的匀强电场中，从B点射出电场时的速度方向与电场线成120°角，电子重力不计。求：（1）电子在电场中的加速度大小a及电子在B点的速度大小vB？（2）A、B两点间的电势差UAB？（3）电子从A运动到B的时间tAB？【答案】（1）a=vB═（2）UAB=（3）tAB=【解析】（1）电子在电场中受电场力作用，根据牛顿第二定律可得a=①将电子在B点的速度分解可知（如图）vB═②（2）由动能定理可知：18\neUAB=mvB2﹣mv02③解②、③式得UAB=（3）设电子在B点沿电场方向的速度大小为vy，则有vy=v0tan30°④vy=atAB⑤解①④⑤式得tAB=7．如图所示，在竖直放置的铅屏A的右表面上贴着射线放射源P，已知射线实质为高速电子流，放射源放出粒子的速度v0=1.0m/s。足够大的荧光屏M与铅屏A平行放置，相距d=0.02m，其间有水平向左的匀强电场，电场强度大小E=2.5N/C。已知电子电量e=1.6C，电子质量取m=9.0kg。求：（1）电子到达荧光屏M上的动能；（2）荧光屏上的发光面积。【答案】（1）Ek=1.2510-16J（2）S=2.8310-3m2【解析】（1）由动能定理得eEd=Ek－Ek=J＋J=1.2510-16J在荧光屏上观察到的范围是半径为3.0×10-2m的圆，圆面积S=πr2=2.8310-3m218\n8．如图所示，水平绝缘光滑轨道AB的B端与处于竖直平面内的四分之一圆弧形粗糙绝缘轨道BC平滑连接，圆弧的半径R=0.40m。在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度E=1.0×l04N/C。现有一质量m=0.l0kg，电荷量q=8.0×l0–5C的带电体（可视为质点）放在水平轨道上与B端距离s=1.0m的位置，由于受到电场力的作用带电体由静止开始运动，当运动到圆弧形轨道的C端时，速度恰好为零。试求此过程中取g=l0m/s2）：（1）带电体在水平轨道上运动的加速度大小及运动到B端时的速度大小；（2）带电体运动到圆弧形轨道的B端时对圆弧轨道的压力大小；（3）带电体沿圆弧形轨道运动过程中，电场力和摩擦力对带电体所做的功各是多少。【答案】（1）a=8m/s2vB=4.0m/s（2）N=5.0N（3）W电=0.32JW摩=–0.72J【解析】（1）设带电体在水平桌面上运动的加速度大小为a根据牛顿第二定律有qE=ma，解得a==8m/s2设带电体运动到B端的速度大小为vB，则vB2=2as，解得vB==4.0m/s（2）设带电体运动到圆轨道B端时受到轨道的支持力为N，根据牛顿第二定律有N–mg=，解得N=mg+=5.0N根据牛顿第三定律可知，带电体对圆轨道B端的压力大小N′=N=5.0N（3）因电场力做功与路径无关，所以带电体沿圆弧形轨道运动过程中电场力所做的功W电=qER=0.32J设带电体沿圆弧形轨道运动过程中摩擦力所做的功为W摩，对此过程根据动能定理有W电+W摩–mgR=0–，解得W摩=–0.72J9．如图所示，有一电子（电量用e表示）经电压U0加速后，进入两板间距为d，电压为U的平行金属板间。若电子从两板正中间射入，且正好能穿出电场，求：18\n（1）金属板AB的长度；（2）电子穿出电场时的动能【答案】（1）（2）Ek=e(U0+)（2）设电子穿过电场时的动能为Ek根据动能定理Ek=eU0+e=e(U0+)【名师点睛】电子先在加速电场中做匀加速直线运动，后在偏转电场中做类平抛运动，根据电子的运动的规律逐个分析即可。10．飞行时间质谱仪可以对气体分子进行分析。飞行时间质谱仪主要由脉冲阀、激光器、加速电场、偏转电场和探测器组成，探测器可以在轨道上移动以捕获和观察带电粒子。整个装置处于真空状态。加速电场和偏转电场电压可以调节，只要测量出带电粒子的飞行时间，即可以测量出其比荷。如图所示，脉冲阀P喷出微量气体，经激光照射产生不同价位的离子，自a板小孔进入a、b间的加速电场，从b板小孔射出，沿中线方向进入M、N板间的偏转控制区，到达探测器。已知加速电场ab板间距为d，偏转电场极板M、N的长度为L1，宽度为L2。不计离子重力及进入a板时的初速度。18\n（1）设离子的比荷为k（k=q/m），当a、b间的加速电压为U1，在M、N间加上适当的电压U2，试求离子进入偏转电场时的初速度v；以及探测器偏离开中线的距离y。（2）当a、b间的电压为U1时，在M、N间加上适当的电压U2，离子从脉冲阀P喷出到到达探测器的全部飞行时间为t。请推导出离子比荷k的表达式。【答案】（1）（2）【解析】（1）带电粒子在平行板ab间运动时，根据动能定理解得，即正离子在平行板MN间水平方向运动位移为x时，在竖直方向运动的位移为y水平方向满足①竖直方向满足③加速度④联立解得（2）带电粒子在平行板ab间的加速度，即所以，带电粒子在平行板ab间的运动时间为带电粒子在平行板MN间的运动时间为所以带电粒子的全部飞行时间为18\n解得【名师点睛】本题关键建立运动模型，明确粒子的运动规律，先直线加速后类平抛运动，然后根据运动学公式和类平抛运动的分位移公式列式求解，不难。11．一束初速度不计的电子在经U的加速电压加速后，在距两极板等距处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示。若板间距离d，板长l，偏转电极边缘到荧光屏的距离为L，偏转电场只存在于两个偏转电极之间。已知电子质量为m，电荷量为e，求：（1）电子离开加速电场是的速度大小；（2）电子经过偏转电场的时间；（3）要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最多能加多大电压？（4）电子最远能够打到离荧光屏上中心O点多远处？【答案】（1）v0=（2）t=（3）U′=（4）Y=【解析】（1）设电子流经加速电压后的速度为v0，则由动能定理有：qU=mv02又q=e得：v0=（2）电子经过偏转电场时做类平抛运动，运动时间为：t=（3）设两极板上最多能加的电压为U′，要使电子能从平行板间飞出则电子的最大侧移量为，则有：=18\n又a=联立以上三式得：U′=12．如图所示，带有等量异种电荷平行金属板M、N竖直放置，M、N两板间的距离d=0．5m。现将一质量m=1×10–2kg、电荷量q=4×10–5C的带电小球从两极板上方的A点以v0=4m/s的初速度水平抛出，A点距离两板上端的高度h=0.2m；之后小球恰好从靠近M板上端处进入两板间，沿直线运动碰到N板上的C点，该直线与曲线的末端相切。设匀强电场只存在于M、N之间，不计空气阻力，取g=10m/s2。求：（1）小球到达M极板上边缘B位置时速度的大小和方向；（2）M、N两板间的电场强度的大小和方向；18\n（3）小球到达C点时的动能。【答案】（1）（θ为速度方向与水平方向的夹角）（2）水平向右（3）EkC=0.225J（3）解法一：进入电场后，小球受到的合外力B、C两点间的距离，从B到C由动能定理得：解得：EkC=0.225J解法二：进入电场后，小球在水平方向做初速度为v0的匀加速直线运动，m/s2得解：t2=0.1s小球到达C点时的水平速度v1=v0+axt2=6m/s竖直分速度v2=vy+gt2=3m/svC=EkB===0.225J13．如图所示，极板A、B、K、P连入电路，极板P、K，A、B之间分别形成电场，已知电源的电压恒为E=300V，电阻R1=20kΩ，R2=10kΩ，A、B两极板长L=6.0×10–2m，电荷量q=–1.6×10–18C、质量m=1.0×10–29kg，从极板K中心经P、K间电场加速后，沿A、B中线进入电场中发生偏转，恰好从B18\n板的右边缘飞出。（极板间电场可视为匀强电场且不考虑极板边缘效应，不计粒子重力）求：（1）极板P、K之间电压UPK，A、B之间电压UAB；（2）粒子刚进入偏转极板A、B时速度v0；（3）两极板A、B的间距d。【答案】（1）UAB=300V（2）（3）【解析】（1）极板PK之间的电压UPK即为R1两端电压，所以AB之间的电压为UAB，所以UAB=E=300V（2）粒子在KP间加速度运动，由动能定理得：qUPK=mv02所以有：（3）粒子在极板A、B之间轨迹为抛物线侧移y=at2而且y=d联立得：【名师点睛】此题是带电粒子在电场中的运动问题；关键是先搞清电路的结构，知道粒子在水平和竖直方向的运动特点，并联系匀变速直线运动的规律列方程解答。14．如图所示，平行放置的金属板A、B间电压为U0，中心各有一个小孔P、Q，平行放置的金属板C、D板长和板间距均为L，足够长的粒子接收屏M与D板夹角为。现从P点处有质量为m、带电量为＋q18\n的粒子放出（粒子的初速度可忽略不计）。经加速后从Q点射出，贴着C板并平行C板射入C、D电场（平行金属板外电场忽略不计，重力不计，，）（1）粒子经加速后从Q点射出速度大小v；（2）若在进入C、D间电场后好恰从D板边缘飞出，则C、D间电压U1为多少？（3）调节C、D间电压（大小）使进入电场的粒子，不能打在粒子接收屏M上，则C、D间电压U2的取值范围？【答案】（1）（2）（3）或【解析】（1）粒子的加速，由动能定理:解得：（3）若粒子飞出C、D间电场则飞出时竖直方向上速度速度偏转角18\n由题意可知解得：若粒子没有飞出电场也不能打到粒子接收屏M此时可知综上：可知或15．如图所示，微粒A位于一定高度处，其质量m=kg，带电荷量q=+C，质量未知的塑料长方体空心盒子B位于水平地面上，与地面间的动摩擦因数μ=0.1。B上表面的下方存在着竖直向上的匀强电场，场强大小N/C，B上表面的上方存在着竖直向下的匀强电场，场强大小为0.5E，B上表面开有一系列略大于A的小孔，孔间距满足一定的关系，使得A进出B的过程中始终不与B接触，当A以的速度从孔1竖直向下进入B的瞬间，B恰以的速度向右滑行，设B足够长，足够高且上表面的厚度不计，取，A恰能顺次从各个小孔进出B，试求：（1）从A第一次进入B至B停止运动的过程中，B通过的总路程s；（2）B上至少要开多少个小孔，才能保证A始终不与B接触；（3）从右到左，B上表面各相邻小孔之间的距离分别为多大？【答案】（1）（2）N=5（3）【解析】（1）A在B内、外运动时，B的加速度大小a==μg=1m/s2B全过程做匀减速直线运动，所以通过的总路程（2）A第二次进入B之前，在B内运动的加速度大小18\n运动的时间在B外运动的加速度大小a2=20m/s2运动的时间A从第一次进入B到第二次进入B的时间t=t1+t2=0.3sA运动一个周期B减少的速度为Δv=at=0.3m/s从小球第一次进入B到B停下，A运动的周期数为故要保证小球始终不与B相碰，B上的小孔个数至少为N=2n+1=5【名师点睛】该题是较为复杂的往复运动，要求同学们能正确分析每个过程的受力情况，求出加速度、时间和位移，要求较高，难度较大。18
