考点十：导数的几何意义【考纲要求】（1）了解导数概念的实际背景.（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.（3）根据导数的定义求基本函数的导数.（4）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数.【命题规律】导数的运算是导数应用的基础，一般较少直接考查，而导数的几何意义----切线问题是高考考查的热点.预计2022年的高考将会继续保持稳定，坚持考查导数的几何意义，命题形式会更加灵活、新颖．【典型高考试题变式】（一）求函数的导函数例1.【2022浙江高考改编】已知函数，求的导函数.【答案】（I）；【方法技巧归纳】求函数的导函数要做到：1.基本初等函数的导函数相当熟悉；2.导函数的四则运算要熟练.另外，在求导的过程中，要注意对原式进行变形，使得便于我们求导.【变式1】【函数中含有参数，利用某函数值的导数求参数的值】【2022天津卷（文）】已知函数，其中a为实数,为的导函数,若,则a的值为．14\n【答案】3【解析】因为,所以.【变式2】【赋值法在求导得应用，题型变为填空题】【2022江西太原高三模考一（文）改编题】已知函数，则的最小值为___________________.【答案】1（二）导数的几何意义例2.【2022天津卷（文）】已知，设函数的图像在点处的切线为，则在轴上的截距为.【答案】1【解析】，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为.【方法技巧归纳】切线的斜率就是函数在切点处的导数，倾斜值的正切值就是斜率.【变式1】【已知含参函数的切线斜率，求参数的值（或取值范围）】【2022四川乐山第三次调研考试（理）】已知曲线存在两条斜率为的切线，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B14\n【解析】由题得，则方程有两个解，令，且，则由图象可知，有且，即且，解得，故选B.【变式2】【函数的切线斜率与切线的倾斜角之间的关系】【2022安徽宣城六校联考改编题】过函数图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得=,即,解得或.即切线倾斜角的范围为.故选B.【变式3】【两个函数的切线垂直求切点的取值范围】【2022陕西卷（理）】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为．【答案】【变式4】【两个函数的切线平行求参数的值】【2022江苏】在平面直角坐标系xoy中，若曲线y=ax2+bx（a,b为常数）过点P(2,−5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=.【答案】−3【解析】曲线y=ax2+bx过点P(2,−5)，则4a+b2=−5①，又y'=2ax−bx2，所以14\n4a−b4=−72②，由①②解得{a=−1,b=−2,所以a+b=−3．（三）在一点处的切线方程例3.【2022全国1卷（文）】曲线在点（1，2）处的切线方程为_________________________.【答案】【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．【方法技巧归纳】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．【变式1】【例题中增加函数性质】【2022全国3卷（理）】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．【答案】【变式2】【增加例题中函数的参数，求参数的取值】【2022届衡水中学押题卷3（文）改编题】已知函数（，）.若曲线在点处的切线方程为，求，的值分别为________.【答案】【解析】函数的定义域为，.因为曲线在点处的切线方程为，所以得14\n解得（四）过一点的切线方程例4.【2022全国1卷（理）改编题】已知函数f(x)=x3+ax+14，g(x)=−lnx．（1）当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线.【答案】（Ⅰ）a=34；【解析】（Ⅰ）设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)=0，f′(x0)=0，即{x03+ax0+14=03x02+a=0，解得x0=12,a=34.因此，当a=34时，x轴是曲线y=f(x)的切线.【方法技巧归纳】对于曲线上“过”点的切线问题，一般要先设切点，于是切线为，再根据切点在曲线上得，切点在切线上得.列方程组，可得切点的值.【变式1】【增加例题的难度，求切线的取值范围】【2022甘肃第二次高考诊断考试（理）】若是函数图象上的动点，点，则直线斜率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A切线过点，则：，解得：，切线的斜率，综上可得：则直线斜率的取值范围为.14\n（五）两曲线的公切线例5.【2022全国2卷（理）】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】的切点为，则它的切线为.的切点为，则它的切线为：，所以，解得，，所以．【方法技巧归纳】两曲线有公共切线，一般可以分别求出两曲线的切线，然后说明这两直线重合；或者先求出其中一条曲线的切线，然后说明其也和另一曲线相切.【变式1】【例题中曲线添加参数，求参数的值】【2022全国2卷】已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=．【答案】8【解析】由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为14\n,与联立得,显然,所以由.【变式2】【改编题目问法，两曲线存在公切线求参数范围】【2022河南六市第二次联考（理）】若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由y=ax2(a>0),得y′=2ax，由y=ex,得y′=ex，曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点，则，可得2x2=x1+2，∴，记，则，当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)递减；当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增.∴当x=2时,.∴a的范围是.【数学思想】无限逼近的极限思想（1）由可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵.（2）曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”“割线→切线”.（3）在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．14\n【处理导数的几何意义问题注意点】(1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P的切线方程”与“该曲线在点P处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P处的切线方程”问题的考查较为普遍.【典例试题演练】1．【2022宁夏银川一中高三二模（文）】已知在平面直角坐标系中，曲线在处的切线过原点，则A.1B.C.D.【答案】B2．【2022辽宁沈阳东北育才学校第九次模拟考试（理）】已知函数，且的图象在处的切线与曲相切，符合情况的切线A.有条B.有条C.有条D.有条【答案】A【解析】函数f(x)=的导数为f′(x)=1−，a>0.易知,曲线y=f(x)在x=0处的切线l的斜率为1−1a,切点为(0,−1)，14\n可得切线的方程为y=(1−)x−1.假设l与曲线y=ex相切,设切点为(x0,y0)，即有e x0=1−=(1−)x0−1，消去a得e x0=e x0⋅x0−1,设h(x)=exx−ex−1，则h′(x)=exx,令h′(x)>0，则x>0，所以h(x)在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增，当x→−∞,h(x)→−1,x→+∞,h(x)→+∞，所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,则e x0>1，而a>0时,1−1a<1,与e x0>1矛盾，所以不存在.故选：A.3．【2022湖南长沙长郡中学高三5月模考（理）】设曲线（为自然对数的底数）上任意一点的切线为，总存在曲线上某点处切线，使得，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以直线的斜率分别为，则由题设可得，即，又因为对任意，都有，故存在使得，即存在使得，故，即，应选答案D.4．【2022安徽蚌埠高三二质检（理）】已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.14\n【答案】D【解析】曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，有两个不同的解，即得有两个不同的解，设，则，在上递减，在上递增时，函数取得极小值又因为当时总有，所以可得数的取值范围是，故选D.5．【2022四川绵阳高三月考（理）】过点作曲线的切线最多有（）A．条B．条C．条D．条【答案】A6．【2022河北石家庄二中开学考试（理）】已知函数.若直线与曲线都相切，则直线的斜率为__________．【答案】【解析】因为，所以设曲线与切于点，则切线斜率，故切线方程为，即，与联立得：，因为直线l与曲线相切，所以，解得，故斜率.故答案为：14\n7．【2022广东茂名高三五校联盟9月联考（理）】若函数fx=x+mexm∈R的图象在点1,f1处的切线斜率为2e，则函数fx的极小值是__________．【答案】−1e【解析】因为f′(x)=ex+(x+m)ex=(x+m+1)ex，所以由导数的几何意义可得切线的斜率k=(m+2)e=2e⇒m=0，故f(x)=xex，令f′(x)=(x+1)ex可得x=−1，则函数的极小值为f(−1)=−e−1，应填答案-1e.8．【2022河南新乡三模（文）】若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为__________．【答案】（或）【解析】又，则曲线在点处的切线方程为，即9．【2022湖南郴州市高三第四次质量检测（文）】若函数f(x)=(x2−ax+a+1)ex（a∈N）在区间(1,3)只有一个极值点，则曲线f(x)在点(0,f(0))处切线的方程为__________．【答案】y=x+6【解析】由题意可得f′(x)=(x2+(2−a)x+1)ex，所以f′(x)=0,即(x2+(2−a)x+1)ex=0在(1,3)有唯一奇次根.根据根的存在性定理f′(1)f′(3)<0，即(4−a)(3a−16)<0，4<a<163，又因为a∈N，所以a=5.f(x)=ex(x2−5x+6),f′(x)=ex(x2−3x+1)，f(0)=6,f′(0)=1,所以切线方程为y=x+6.答案为：x-y+6=0.10．【2022河南周口市中英文学校开学考】曲线在处的切线方程为_____．【答案】【解析】由，得，，切线的斜率为14\n，故切线方程为，故答案为.11．【2022贵州贵阳高三8月摸底考】已知函数，曲线在点处的切线与轴的交点的纵坐标为，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】对函数求导可得：，则，且：，曲线在处的切线方程为，令可得：，即，错位相减可得其前n项和为.12．【2022湖南省郴州市高三第四次质量检测（文）改编】已知函数f(x)=lnx−a（a∈R）与函数F(x)=x+2x有公共切线.则求a的取值范围为_____________.【答案】[ln2−3,+∞)13．【2022吉林实验中学八模（理）改编】已知函数．（Ⅰ）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值．【答案】（1）14\n【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义，得，；试题解析：（Ⅰ）,函数在处的切线平行于直线..14．【2022陕西省西安市西北工业大学附属中学第八次模拟（理）】已知函数（常数）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线与直线相切，证明：.【答案】(1)的单增区间为，单减区间为;(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，得增区间，得减区间；（Ⅱ）设曲线与直线的切点为，由，可得，，其中，利用导数研究函数的单调性可得，即.（Ⅱ）证明：设曲线与直线的切点为，因为，所以，即.因为直线经过切点，所以，14\n于是，有，即.令，则，故单增，又，，所以有唯一零点，且.再令，其中，则，故单减，所以，即.14
