考点38 抛物线【考纲要求】（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.；（3）了解抛物线的简单应用；（4）理解数形结合的思想．【命题规律】抛物线是历年高考命题的重点热点，考查抛物线的定义、标准方程，常与求参数和最值等问题相结合；考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题；多与平面向量交汇考查抛物线的定义、方程与几何性质．预计2022年高考对抛物线的考查会以抛物线的定义与标准方程、几何性质、直线与抛物线位置关系三个为考点为主，在客观题中进行考查，难度中等偏低．也可能以解答题出现在大题，综合考查直线与抛物线的位置关系及与其它知识的交汇．【典型高考试题变式】（一）抛物线的定义及应用【例1】【2022全国新课标Ⅰ卷】已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．19\n【方法技巧归纳】涉及到抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线（焦点）的距离问题求解，如根据抛物线定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．【变式1】【变为利用定义求焦点到坐标轴的距离】若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离是_______．【答案】9【解析】设抛物线的焦点为，则，于是由抛物线的定义知，所以，即为到轴的距离．【变式2】【变为求多条线段和】如果，，…，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，是抛物线的焦点，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】A（二）抛物线的方程【例2】【2022全国新课标Ⅱ卷】设抛物线的焦点为F，点M在C上，|MF|=5,若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）A．或 B．或19\nC．或 D．或【答案】C【解析】由题意知：，准线方程为，则由抛物线的定义知，，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆方程为，又因为点（0，2），所以，又因为点M在C上，所以，解得或，所以抛物线C的方程为或，故选C．【方法技巧归纳】求抛物线的标准方程应注意以下几点：（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种；（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；（3）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【变式1】【变为利用抛物线的性质求方程】过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点，若，且，则抛物线的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】C【变式2】【变为与双曲线交汇条件下求抛物线的方程】过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交其抛物线于两点，若，且，则抛物线方程为（ ）A． B． C． D．【答案】C19\n【解析】设抛物线的焦点坐标为，双曲线的一条渐近线方程为，所以设直线为，设，根据，解得：，因为，所以，，即，解得：或（舍），即抛物线方程为，故选C．（三）抛物线的几何性质【例3】【2022新课标Ⅰ卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【方法技巧归纳】（1）涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离，常可相互转化；（2）应用抛物线几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．【变式1】【变为抛物线通径的应用】已知点在抛物线：上，且点到19\n的准线的距离与点到轴的距离相等，则的值为( )A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】因为点到的准线的距离与点到轴的距离相等，所以点是抛物线通径的一个端点，所以，故选B．【变式2】【变为利用抛物线的对称性的应用】已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，为切点，若直线经过抛物线的焦点，的面积为，则＿＿＿＿＿＿．A． B． C． D．【答案】D【解析】（1）由抛物线的对称性知，，则，解得，直线方程为，所以所求抛物线标准方程为，故选D．（四）直线与抛物线的位置关系【例4】【2022新课标Ⅰ卷】在直角坐标系中，曲线：与直线（＞0）交与两点．（1）当时，分别求在点M和N处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．【答案】（1）或；（2）存在．【解析】（1）由题设可得，，或，．∵，故在=处的导数值为，19\n曲线C在处的切线方程为，即．故在=-处的导数值为-，曲线C在处的切线方程为，即．故所求切线方程为或．【方法技巧归纳】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，解题时一般要用到判别式或根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．对于抛物线来说，若过抛物线的焦点，则可直接使用公式；若不过焦点，则必须用一般弦长公式．【变式1】【变为非探索性问题即证明定点问题】过抛物线：的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为．（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为，若过和两点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线与轴交于一定点．19\n【答案】（1）；（2）．【解析】（1）抛物线的焦点为，故可设直线的方程为，由，得，设，则，∴，由，可得．∴抛物线的方程为．（2）【方法1】依题意，直线与轴不垂直，∴．∴直线的方程可表示为，①∵抛物线的准线方程为，②由①，②联立方程组可求得的坐标为，由（1）可得，∴的坐标可化为，∴，∴直线的方程为，令，可得，∴直线与轴交于定点．【变式2】【变为探索点的位置】已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．19\n（1）求抛物线C的标准方程；（2）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．【答案】（1）；（2）无关，证明见解析．【解析】（Ⅰ）由题意，，，抛物线C的标准方程为．（Ⅱ）设，设直线MN的方程为，联立得，∴，，，由对称性，不妨设，（ⅰ）时，，同号，又，，不论a取何值，均与有关，即时，不是“稳定点”；（ⅱ）时，，异号．又，，仅当，即时，与无关，【数学思想】1．函数思想的渗透19\n由于抛物线问题中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间往往构成函数关系，从而可用函数的思想方法来解决，如求距离、面积、角度的最值及取值范围等．2．方程思想的渗透求抛物线的标准方程一般结合待定系数法，通过建立方程(组)来解决；判断直线与双曲线的位置关系和求相关参数的值常常须建立关于参数的方程来解决；解决直线与抛物线的位置关系问题往往须转化为二次方程来解决．3．分类讨论思想的渗透若题中的涉及到抛物线曲线类型或点、直线、曲线的相互间的位置变化不明确时，常常需要进行分类讨论解答．4．转化与化归思想转化与化归思想在双曲线问题的解决中可谓无处不在，特别是利用定义抛物线上的点到焦点的距离与焦点到准线的距离相互转化，往往能使问题得到快速的解决．【处理集合问题注意点】1．利用抛物线定义判断动点的轨迹时易忽视定义中定点不在定直线上；2．求抛物线的方程或利用抛物线的性质时，易忽视抛物线的焦点位置；3．求与抛物线相关的最值问题或取值范围问题时，易忽视抛物线方程中变量的取值范围；4．应用抛物线的定义时，易忽视参数的意义；易忽视抛物线方程的标准形式．5．解答直线与抛物线位置关系综合题时，易忽视直线与抛物线对称轴平行的情况中，造成考虑问题不全面或不进行严密的推导而导致错误．【典例试题演练】1．【2022届陕西省渭南市高三下学期第二次教学质量检测（二模）】抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】抛物线变标准式，可知，焦点到准线的距离为p，故选D．2．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2022届高三上学期第一次联考】抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）19\nA． B． C．1 D．【答案】B【解析】抛物线焦点为（0,1），渐近线为，则焦点到的渐近线的距离为，故选B．3．【2022届河北武邑中学高三理上学期调研四】若抛物线上一点到它的焦点的距离为，为坐标原点，则的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵抛物线上一点到它的焦点的距离为，∴，∴，∴时，，∴的面积为，故选：B．4．【2022湖南省长沙市长郡中学、衡阳八中等十校联考二】若抛物线的焦点到双曲线的渐进线的距离为，则抛物线的标准方程为（ ）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由题意，得抛物线的焦点到双曲线的渐进线的距离为，解得，即抛物线的标准方程为，故选A．5．【2022届重庆市第一中学高三文12月月考】已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点恰好在的垂直平分线上，则的长度为（ ）19\nA．4 B．3 C． D．2【答案】A6．【2022河南省豫南九校质量考评八】设抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，过点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，直线代入抛物线方程并化简可得，即，则，故点，由题设，由抛物线的定义可知，解之得，则直线的方程为，故选B．7．【2022河北省衡水中学押题卷I】焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）A．或 B．C．或 D．【答案】A【解析】过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去19\n得，所以，得．则直线方程为或，故选．8．【2022三湘名校教育联盟大联考三】已知双曲线上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线上的两点关于直线对称，且，则的值为（ ）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】由题可知，中点坐标为．关于直线对称，则中点在直线上，且直线与直线垂直．可得．可化为，又，可得，则，故选．9．【2022湖南省长沙市长郡中学5月模拟】已知抛物线，焦点记为，过点作直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，设直线，代入可得，设，则，由抛物线的定义可得，则＝，令，19\n则，所以＝＝，故选A．10．【昭通市2022届高三复习备考统一检测（第二次）】已知抛物线上的一点到焦点的距离是到轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________．【答案】【解析】设该点的横坐标为，由题及抛物线的定义可得．11．【江西省新余市2022届高三高考全真模拟】已知点是抛物线上的两点，，点是它的焦点，若，则的值为__________．【答案】10【解析】由抛物线的定义可得，依据题设可得，则（舍去负值），故12．【2022届天津河西区第二次模拟】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的最短距离为＿＿＿＿＿＿．【答案】13．【2022甘肃高台县一中检测三】设抛物线的焦点为，过19\n的直线交该抛物线与，则的最小值为___________．【答案】【解析】设抛物线的焦点为当轴时，，当直线有斜率时，可设直线的方程为，代入抛物线方程得，设，则，≥，当且仅当即时有最小值．14．【江西省抚州市2022届高三4月模拟】已知直线与抛物线交于两点，抛物线的焦点为，则的值为__________．【答案】-11【解析】设，将代入可得，即，所以，则＝＝，又，故＝，由于，，则．15．【甘肃省肃南县第一中学2022届高三下学期期中考试】已知抛物线，过其焦点作斜率为的直线交抛物线于、两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于、两点，且，求的最小值.【答案】（I）;（2）.19\n【解析】由，得抛物线时，方程（2）设动圆圆心，则，且圆，令，整理得：，解得，∴，当时，，当时，，，所以的最小值为.16．【2022山西省太原市届三模】已知动点到点的距离比到直线的距离小1，动点的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于，两个不同点，且，证明：直线经过一个定点．【答案】（1）；（2）见解析．19\n（2）设，由得，，．，，，或．，舍去，，满足，直线的方程为，直线必经过定点．17．【2022云南省毕业生复习统一检测二】已知抛物线的顶点为原点，焦点为圆的圆心．经过点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，在第一象限，在第四象限．（1）求抛物线的方程；（2）是否存在直线，使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根据已知设抛物线的方程为．∵圆的方程为，∴圆心的坐标为，半径．∴，解得，∴抛物线的方程为．19\n当时，化为，∵，∴有两个不相等实数根．∴满足题意，即直线满足题意．∴存在满足要求的直线，它的方程为或．18．【2022届三省高三上学期百校大联考】已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点．（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值．【答案】（1），（2）见解析．【解析】（1）设，，联立方程组，消元得，19\n所以，．又，所以，从而．（2）因为，，所以，，因此又，，所以即为定值．19．【2022河北省衡水中学二摸】已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.（1）若当点的横坐标为，且为等腰三角形，求的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.【答案】（1）（2）．19\n【解析】(1)由题知，则的中点坐标为，则，解得，故的方程为.(2)依题可设直线的方程为，则．由消去，得，．设的坐标为，则．由题知，所以，即，显然，所以，即证，由题知为等腰直角三角形，所以，即，也即，所以，即，又因为，所以，令，易知在上是减函数，所以.19
