【三维设计】2022届高考数学一轮复习大题规范解答全得分系列（七）空间向量在立体几何中的应用答题模板新人教版利用空间向量证明空间中的线面关系，计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考法，它以代数运算代替复杂的想象，给解决立体几何带来了鲜活的方法．此类问题多以解答题为主，难度中档偏上，主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，运算能力要求较高．“大题规范解答——得全分”系列之(七)空间向量在立体几何中的应用答题模板[典例] (2022安徽高考·满分12分)平面图形ABB1A1C1C如图①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值．[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息―→2．审结论，明解题方向―→(1)证明：AA1⊥BC，(2)求AA1的长，(3)求二面角A－BC－A1的余弦值3\n3．建联系，找解题突破口D1D，D1B1，D1A1两两垂直，,BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝(1)证明·＝0，(2)计算AA1＝||，(3)求平面法向量的夹角―→[教你准确规范解题](1)证明：取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD.由BB1C1C为矩形知，DD1⊥B1C1.因为平面BB1C1C⊥平面A1B1C1，所以DD1⊥平面A1B1C1.(1分)又由A1B1＝A1C1知，A1D1⊥B1C1.(2分)故以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D1－xyz.(3分)由题设，可得A1D1＝2，AD＝1.由以上可知AD⊥平面BB1C1C，A1D1⊥平面BB1C1C，于是AD∥A1D1.(4分)所以A(0，－1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(－1,0,4)，D(0,0,4)，故＝(0,3，－4)，＝(－2,0,0)，·＝0，(5分)因此⊥，即AA1⊥BC.(6分)(2)因为＝(0,3，－4)，所以||＝5，即AA1＝5.(8分)(3)设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，又因为＝(－1，－2,4)，＝(1，－2,4)，(9分)所以(10分)即⇒令z1＝1，则n1＝(0,2,1)．3\n又因为平面ABC⊥z轴，所以取平面ABC的法向量为n2＝(0,0,1)，则cos〈n1，n2〉＝＝＝，(11分)所以二面角A－BC－A1的余弦值为－.(12分)[常见失分探因]—————————————[教你一个万能模板]———————————————第一步 理清题意利用条件分析问题，建立恰当的空间直角坐标系.―→第二步 确定相关点的坐标结合建系过程与图形，准确地写出相关点的坐标.―→第三步 确立平面的法向量利用点的坐标求出相关直线的方向向量和平面的法向量，若已知某直线垂直某平面，可直接取直线的一个方向向量为该平面的法向量.―→第四步 转化为向量运算将空间位置关系转化为向量关系，空间角转化为向量的夹角问题去论证，求解.―→第五步 问题还原结合条件与图形，作出结论(注意角的范围).―→第六步 反思回顾回顾检查建系过程、坐标是否有错及是否忽视了所求角的范围而写错结论.3
