【三维设计】2022届高考数学一轮复习大题规范解答全得分系列（二）导数应用问题答题模板新人教版导数是解决函数问题的重要工具，利用导数解决函数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中的最优化问题，是高考考查的热点，在解答题中每年必考，常与不等式、方程结合考查，试题难度较大，因此对该部分知识要加大训练强度，提高解题能力．“大题规范解答——得全分”系列之(二)导数的应用问题答题模板[典例] (2022北京高考·满分13分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息―→2．审结论，明解题方向―→3．建联系，找解题突破口解方程组1．审条件，挖解题信息4\n―→2．审结论，明解题方向―→3．建联系，找解题突破口问题转化为求函数h(x)＝f(x)＋g(x),＝x3＋ax2＋a2x＋1的导数增区间为和，单调递减区间为①当－1≤－，即0<a≤2时，h(x)max＝h(－1)＝a－②当－<－1<－，即2<a<6时，h(x)max＝h(－)＝1③当－1≥－，即6≤a时，h(x)max＝h(－)＝1[教你准确规范解题](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，所以(2分)即解得a＝b＝3.(3分)(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，4\n∵a2＝4b，∴h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1.则h′(x)＝3x2＋2ax＋a2，令h′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝－.(5分)由a>0，得h(x)与h′(x)的变化情况如下：x－－h′(x)＋0－0＋h(x)∴函数h(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.(7分)①当－1≤－，即0<a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－；(8分)②当－<－1<－，即2<a<6时，函数h(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1；(10分)③当－1≥－，即a≥6时，函数h(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又因为h－h(－1)＝1－a＋a2＝(a－2)2>0，所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1.(12分)综上所述：当a∈(0,2]时，最大值为h(－1)＝a－；当a∈(2，＋∞)时，最大值为h＝1.(13分)[常见失分探因]易忽视条件“在它们的交点(1，c)处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于a，b的方程组，从而使题目无法求解.4\n易将单调递增区间写成并集“(－∞，－)∪(－，＋∞)”或“(－∞，－)或(－，＋∞))”而导致错误.易忽视对a的分类讨论或分类不准确造成解题错误—————————————————[教你一个万能模板]———————————用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答：第一步求函数f(x)的导数f′(x)―→第二步求函数f(x)在给定区间上的单调区间―→第三步求函数f(x)在给定区间上的极值―→第四步求函数f(x)在给定区间上的端点值―→第五步比较函数f(x)的各极值与端点值的大小，确定函数f(x)的最大值和最小值―→第六步反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．如本题的关键点是确定函数f(x)的单调区间；易错点是忽视对参数a的讨论4
