第三章导数及其应用\n高考大题规范解答系列(一)——函数与导数\n例1考点一利用导数解决与函数有关的极、最值问题\n\n\n\n\n【评分细则】①代入a＝0求对f(1)得2分．②求对f′(x)及f′(1)得2分．③求对切线方程得1分．④求对f′(x)及a值得2分．⑤求对f′(x)及分解因式正确得2分．\n⑥求对单调区间得2分．⑦求对极大、极小值得2分．⑧求对f(x)范围得1分．⑨求对最大、小值得1分．\n【名师点评】1．核心素养：利用导数研究函数的极、最值问题，首先对函数求导，分解因式，分类讨论函数在给定区间的增减情况确定极最值，重点考查学生数学运算、逻辑推理及分类的数学核心素养．2．解题技巧：(1)求出f′(x)并分解对因式．(2)对f(x)进行分析在(－∞，－1)，(4，＋∞)的范围，分别求最值是本题关键点．\n〔变式训练1〕(2020·北京，19,15分)已知函数f(x)＝12－x2.(1)求曲线y＝f(x)的斜率等于－2的切线方程；(2)设曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．[解析](1)因为f(x)＝12－x2，所以f′(x)＝－2x，令－2x＝－2，解得x＝1，又f(1)＝11，所以所求切线方程为y－11＝－2(x－1)，整理得2x＋y－13＝0.\n\n\n\n例2考点二利用导数解决与不等式有关的函数问题\n\n\n\n\n\n\n【名师点评】1．核心素养：利用导数判断函数的单调性及解决与不等式有关的函数问题是高考命题的热点问题．本题主要考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养．\n\n\n\n\n\n令h(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)，则h′(x)＝1－ln(1－x)－1＝－ln(1－x)，∴当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，当x∈(－∞，0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，∴当x∈(－∞，0)∪(0,1)时，h(x)>h(0)＝0，∴x＋(1－x)ln(1－x)>0在(－∞，0)∪(0,1)上恒成立．∴g(x)<1.\n(2021·山东省青岛市高三模拟检测)已知函数f(x)＝aex－x－a，e＝2.71828…是自然对数的底数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围．【分析】①看到单调性想到求函数f(x)的导数．②看到f(x)恰有2个零点，想到f(x)＝0有两解或y＝f(x)图象与x轴有两个交点．例3考点三利用导数解决与函数零点有关的问题\n\n\n\n\n【评分细则】①求对导函数得1分．②求对a≤0单调区间得1分．③求对a>0单调区间得2分．④求对a≤0时f(x)只有一个零点得1分．⑤求对0<a<1时f(x)有两个零点得3分．⑥求对a＝1时f(x)有一个零点得1分．⑦求对a>1时f(x)有两个零点，并进行综述得3分．\n【名师点评】1．核心素养：本题主要考查导数与函数单调性的关系、零点存在性定理，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．2．解题技巧：(1)通过求导，分类讨论，进而求单调区间．(2)通过(1)的分析知道函数f(x)的单调性、最值，讨论f(x)零点的个数，从而得出结论．\n\n[解题指导](1)掌握用导数判断函数单调性的方法，并注意对b分类讨论；(2)运用函数零点的定义将零点问题等价转化为方程根的问题，通过两次构造函数再运用函数的单调性与最值求得范围；(3)首先运用(2)的结论与求解过程中函数g(t)的单调性，然后运用转化与化归的思想方法证明不等式，进而运用构造函数法，结合导数判断函数的单调性求解．\n\n\n\n\n\n
