活页作业 平面向量的概念及其线性运算一、选择题1．对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当a＋b＝0时，a＝－b，∴a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b.∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．答案：A3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对解析：由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.∴∥，||＝2||，∴四边形ABCD是梯形．答案：C4．(2022·长春模拟)在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F6\n，若＝m＋n(m，n∈R)，则的值为( )A．2 B．－2 C. D．－解析：易知△AEF∽△CBF，所以＝＝.所以＝＝(－)＝(－)＝－.又已知＝m＋n，故由平面向量基本定理，得m＝，n＝－.所以＝－2.答案：B5．(理)(2022·邵阳模拟)已知O是平面上的一定点，在△ABC中，动点P满足条件＝＋λ，其中λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )A．内心 B．重心C．垂心 D．外心5．(文)(2022·武汉模拟)已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足＝＋＋2，则点P一定为三角形ABC的( )A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析：取AB的中点D，则＝－，故＝＝[(＋)＋2]＝＝(＋2)6\n＝＝.故点P是中线AD的三等分点(非重心)．故选B.答案：B6．(金榜预测)在△ABC中，＝2，＝m＋n，则的值为( )A．2 B． C．3 D．解析：＝＋＝＋，＝＋(－)＝＋.∴m＝，n＝，＝.答案：B二、填空题7．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝____________(用e1，e2表示)．解析：＝＋＝－＝(－)－＝e2－e1.答案：e2－e18．(理)(2022·莱芜模拟)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．解析：设D为AC的中点，连接OD，则＋＝2.又＋＝－2，所以＝－，即O为BD的中点，从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1.答案：18．(文)(2022·金华模拟)已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋6\n，则||∶||＝________.解析：由＝＋，得－＝2(－)，故＝2，所以||∶||＝2.答案：29．给出以下命题：①对于实数p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb；②对于实数p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa；③若pa＝pb(p∈R)，则a＝b；④若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q.其中正确命题的序号为________．解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知①②④正确；③不一定成立，因为当p＝0时，pa＝pb＝0，而不一定有a＝b.答案：①②④三、解答题10．(理)如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若＝x，＝y，求＋的值．解：设＝a，＝b，则＝xa，＝yb，＝＝(＋)＝(a＋b)．∴＝－＝(a＋b)－xa＝a＋b，＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.∵a与b不共线，∴6\n消去λ，得＋＝4.10．(文)如图，在△ABC中，在AC上取点N，使得AN＝AC，在AB上取点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取一点Q，使MQ＝λCM时，＝，试确定λ的值．6\n6
