课时提升作业(二十三)平面向量的概念及其线性运算一、选择题(每小题5分,共35分)1.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且=a,=b,则= ( )A.b-aB.b+aC.a+bD.a-b【解析】选A.=-=+-=+-=-=b-a.2.(2022·石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是( )A.a+b=0 B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ,使a=λb【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.【误区警示】解答本题易误选B,若a=b,则|a+b|=|a|+|b|,反之不一定成立.3.已知=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则下列一定共线的三点是( )A.A,B,CB.A,B,DC.B,C,DD.A,C,D【解析】选B.因为=3a+6b=3(a+2b)=3,又,有公共点A.所以A,B,D三点共线.4.(2022·攀枝花模拟)在△ABC中,已知D是AB边上一点,则实数λ=( )【解析】选D.如图,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC于点F,连接CD,则-8-\n【加固训练】已知△ABC和点M满足=0,若存在实数m使得成立,则m=( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.根据题意,由于△ABC和点M满足=0,则可知点M是三角形ABC的重心,设BC边的中点为D,则可知所以故m=3.5.(2022·兰州模拟)已知D为△ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积比为 ( )A.B.C.D.【解题提示】只要明确DM与DC之比即可,故利用已知转化为与之间关系即可.【解析】选C.由5=+3得2=2+3-3,即2(-)=3(-),即2=3,故=,故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5,故S△ABM∶S△ABC=3∶5.6.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若则m+n的值为( )-8-\nA.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为O是BC的中点,所以又因为所以因为M,O,N三点共线,所以=1,所以m+n=2.7.(2022·泉州模拟)已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④=0.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②③④【解析】选D.所以正确命题为②③④.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在▱ABCD中,=a,=b,3,M为BC的中点,则= .(用a,b表示)-8-\n【解析】如图所示.答案:【方法技巧】利用基底表示向量的方法在用基底表示向量时,要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解,同时要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】(2022·海口模拟)在△ABC中,=c,=b,若点D满足,则= .【解析】如图,因为在△ABC中,=c,=b,且点D满足,答案:b+c9.(2022·长春模拟)已知m,n满足|m|=2,|n|=3,|m-n|=,则|m+n|= .-8-\n【解题提示】利用向量加减法几何意义及平行四边形对角线与边的关系求解.【解析】由平行四边形的对角线与边的关系及|m-n|与|m+n|为以m,n为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m-n|2+|m+n|2=2|m|2+2|n|2=26,又|m-n|=,故|m+n|2=26-17=9,故|m+n|=3.答案:310.给出下列命题:①若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②0a=0;③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中正确命题的序号是 .【解析】①正确;②数乘向量的结果为向量,而不是实数,故不正确;③当a=b时|a|=|b|且a∥b,反之不成立,故错误;④当a,b不同向时不成立,故错误.答案:①(20分钟 40分)1.(5分)已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足则点P一定为三角形ABC的( )A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点【解析】选B.设AB的中点为M,则即3,也就是,又有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近C点的一个三等分点.2.(5分)(2022·大理模拟)O是△ABC所在平面外一点且满足-8-\n,λ为实数,则动点P的轨迹必经过△ABC的( )A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心【解题提示】明确是方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为与共线后可解.【解析】选B.如图,设已知均为单位向量,故▱AEDF为菱形,所以AD平分∠BAC,由得有公共点A,故A,D,P三点共线,所以P点在∠BAC的平分线上,故P的轨迹经过△ABC的内心.3.(5分)(2022·重庆模拟)若∀k∈R,恒成立,则△ABC的形状一定是 .【解题提示】利用向量加减的几何意义,数形结合求解.【解析】如图,设-8-\n由对任意k∈R,都有恒成立知,故△ABC为直角三角形.答案:直角三角形4.(12分)(2022·贵阳模拟)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若,求实数m的值.【解析】由N是OD的中点得又因为A,N,E三点共线,故故实数m=.【加固训练】已知△ABC中,=a,=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足+λa+λb,若动点P的轨迹与边BC的交点为M,试判断M点的位置.【解析】依题意,由+λa+λb,得=λ(a+b),即如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,则-8-\n所以A,P,D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹与BC的交点为BC的中点,即点M为BC的中点.5.(13分)(能力挑战题)设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C三点共线.(2)若=a+b,=2a-3b,=2a-kb,且A,C,D三点共线,求k的值.【解析】(1)由已知得=3a+b-2a+b=a+2b,=a-3b-3a-b=-2a-4b,故又与有公共点B,所以A,B,C三点共线.(2)因为=a+b+2a-3b=3a-2b,=2a-kb,且A,C,D三点共线,故存在实数λ使得即2a-kb=3λa-2λb,-8-
