活页作业 直线、平面平行的判定及性质一、选择题1．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a成90°角解析：若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面或垂直，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以B、C、D都正确，A不正确．答案：A2．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．03．(理)(2022·包头模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )A．有无数条 B．有2条C．有1条 D．不存在解析：∵平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1，∴两平面有一条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样直线有无数条．答案：A3．(文)(2022·蚌埠模拟)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )6\nA．①③ B．①④ C．②③ D．②④解析：对图①，可通过面面平行得到线面平行．对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP，故选B.答案：B4．(2022·杭州模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是( )A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α∥γ，β∥γ，则α∥βC．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD．若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β解析：由线面垂直的性质可知A正确；由两个平面平行的性质可知B正确；由异面直线的性质易知D也是正确的；对于选项C，α，β可以相交、可以平行，故C错误，选C.答案：C5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则( )A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形解析：如图，由题意知EF∥BD，且EF＝BD；HG∥BD，且HG＝BD.∴EF∥HG，且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行．故选B.答案：B6．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．6\n①a∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有( )A．①或② B．②或③C．①或③ D．①或②或③解析：由面面平行的性质定理可知①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，故③正确．因此选C.答案：C二、填空题7．(理)如图，四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．解析：取PD的中点F，连接EF，在△PCD中，EF∥CD，EF＝CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF∥AB，EF＝AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.答案：平行7．(文)如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，A若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．解析：在平面ABD中，＝，∴MN∥BD.又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴MN∥平面BCD.答案：平行8．(理)空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．解析：设＝＝k(0＜k＜1)，∴＝＝1－k，∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.又∵0＜k＜1，∴周长的范围为(8，10)．答案：(8，10)8．(文)若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为________．6\n解析：设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6，∴周长为2×(4＋6)＝20.答案：209.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q为________时，平面D1BQ∥平面PAO.解析：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.连接DB.∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.答案：CC1的中点三、解答题10．(理)(金榜预测)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)求三棱锥E－PAD的体积；(2)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(3)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.解：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，∴VE－PAD＝S△PAD·AB＝××1××1＝.(2)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．证明如下：∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC.(3)证明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥PA.又BE⊥AB，AB∩PA＝A，∴BE⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE.又PA＝AB＝1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，又∵PB∩BE＝B，∴AF⊥平面PBE.6\n∵PE⊂平面PBE，∴PE⊥AF.故无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.10．(文)(金榜预测)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝DE＝2AB＝4，F为CD的中点．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE.又∵AB＝EM＝DE，∴四边形ABEM是平行四边形，∴AM∥BE.又∵AM⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴AM∥平面BCE.∵CF＝FD，DM＝ME，∴MF∥CE，又∵MF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，∴MF∥平面BCE，又∵AM∩MF＝M，∴平面AMF∥平面BCE，∵AF⊂平面AMF，∴AF∥平面BCE.证法二：如图2，取CE的中点N，连接FN，BN.6\n6
