5-1平面向量的概念与线性运算基础巩固强化1.(文)(2011·宁波十校联考)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )A.＋＝0 B.＋＝0C.＋＝0D.＋＋＝0[答案] B[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，＋＝2⇔P是AC的中点，故＋＝0.(理)已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是( )A.B.C．－3D．0[答案] D[解析] ＝－，＝－.∴＝－－＝－－.12\n∴＝－，∴＝－.又＝r＋s，∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.2．(2012·四川理，7)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|[答案] C[解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念．因表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，要使＝成立，则必须a与b同向共线，所以由a＝2b可得出＝.[点评] a＝－b时，a与b方向相反；a∥b时，a与b方向相同或相反．因此A、B、D都不能推出＝.3．已知向量a＝(1,3)，b＝(3，n)，若2a－b与b共线，则实数n的值是( )A．3＋2B．9C．6D．3－2[答案] B[解析] 2a－b＝(－1,6－n)，∵2a－b与b共线，∴－1×n－(6－n)×3＝0，∴n＝9.4．设平面内有四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形[答案] D[解析] 解法一：设AC的中点为G，则＋＝b＋d＝a＋c＝＋＝2，∴G为BD12\n的中点，∴四边形ABCD的两对角线互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．解法二：＝－＝b－a，＝－＝d－c＝－(b－a)＝－，∴AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．5．设＝e1，＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|AP||PB|＝4，如图所示，则＝( )A.e1－e2B.e1＋e2C.e1＋e2D.e1－e2[答案] C[解析] ＝4，∴＝＋＝5，＝＋＝－＝－(－)＝＋＝e1＋e2.6．P是△ABC内的一点，＝(＋)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为( )A．2B．312\nC.D．6[答案] B[解析] 由＝(＋)，得3＝＋，∴＋＋＝0，∴P是△ABC的重心．∴△ABC的面积与△ABP的面积之比为3.7．(2013·福建省惠安三中模拟)已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于________．[答案] [解析] ∵a∥b，∴3(2x＋1)－4(2－x)＝0，∴x＝.8．已知点A(2,3)，C(0,1)，且＝－2，则点B的坐标为________．[答案] (－2，－1)[解析] 设点B的坐标为(x，y)，则有＝(x－2，y－3)，＝(－x,1－y)，因为＝－2，所以解得x＝－2，y＝－1.9．(2012·东北三省四市联考)在△ABC中，AB＝2AC＝2，·＝－1，若＝x1＋x2(O是△ABC的外心)，则x1＋x2的值为________．[答案] [解析] O为△ABC的外心，＝x1＋x2，·＝x1·＋x2·，由向量数量积的几何意义，·＝||2＝2，∴4x1－x2＝2，①又·＝x1·＋x2·，∴－x1＋x2＝，②联立①②，解得x1＝，x2＝，∴x1＋x2＝.10．设两个非零向量a与b不共线，12\n(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解析] (1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.∴、共线，又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)解：∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.能力拓展提升11.(2012·珠海调研)已知△ABC及其平面内点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m等于( )A．2 B．3 C．4 D．5[答案] B[解析] 解法1：由已知条件＋＝－.如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点．延长BM交AC于E，延长CM交AB于F，则E、F分别为AC、AB的中点，即M为△ABC的重心．＝＝(＋)，即＋＝3，则m＝3.12\n解法2：∵＋＝－＋－＝＋－2＝m，∴＋＝(m－2)，∵＋＋＝0，∴(m－2)＝，∴m＝3.12．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为( )A．(，)B．(，)C．(，)D．(，)[答案] C[解析] 解法1：令＝λ，由题可知：＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ；同理，令＝μ，则＝＋＝＋μ＝＋μ(－)＝μ＋(1－μ)·，平面向量基本定理知对应系数相等，可得解得所以＝＋，故选C.解法2：设＝λ，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴＝＋＝－a＋b，＝＋＝(b－a)＋λ(a－b)＝a＋(1－λ)b，∵与共线，a、b不共线，12\n∴＝，∴λ＝，∴＝＋＝b＋＝b＋＝a＋b，故x＝，y＝.13．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.[答案] [解析] 由图知＝＋，①＝＋，②且＋2＝0.①＋②×2得：3＝＋2，∴＝＋，∴λ＝.14．(2012·吉林省延吉市质检)已知：||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R＋)，则＝________.[答案] 3[解析] 设m＝，n＝，则＝＋，12\n∵∠AOC＝30°，∴||·cos30°＝||＝m||＝m，||·sin30°＝||＝n||＝n，两式相除得：＝＝＝，∴＝3.15．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．(1)若A、B、C三点共线，求实数m的值；(2)若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．[解析] (1)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))．∴＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，∵A、B、C三点共线，∴与共线，∴3(1－m)＝2－m，∴m＝.(2)由题设知＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)∵∠ABC为锐角，∴·＝3＋3m＋m>0⇒m>－又由(1)可知，当m＝时，∠ABC＝0°故m∈∪.12\n16．(文)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)，(1)当x、y为何值时，a与b共线？(2)是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵a与b共线，∴存在非零实数λ使得a＝λb，∴⇒(2)由a⊥b⇒(2x－y＋1)×2＋(x＋y－2)×(－2)＝0⇒x－2y＋3＝0.①由|a|＝|b|⇒(2x－y＋1)2＋(x＋y－2)2＝8.②由①②解得或∴xy＝－1或xy＝.(理)已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)，向量＝＋t.(1)t为何值时，点P在x轴上？(2)t为何值时，点P在第二象限？(3)四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．(4)求点P的轨迹方程．[解析] ∵＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，∴P(1＋3t,2＋3t)．(1)∵P在x轴上，∴2＋3t＝0即t＝－.(2)由题意得∴－<t<－.(3)∵＝(3,3)，＝(1＋3t,2＋3t)．若四边形ABPO为平行四边形，则＝，∴而上述方程组无解，∴四边形ABPO不可能为平行四边形．(4)∵＝(1＋3t,2＋3t)，设＝(x，y)，则∴x－y＋1＝0为所求点P的轨迹方程．12\n1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为( )A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形[答案] A[解析] 由已知得＝＋＋＝－8a－2b，故＝2，由共线向量知识知AD∥BC，且|AD|＝2|BC|，故四边形ABCD为梯形，所以选A.2．已知|a|＝3，|b|＝1，且a与b同向共线，则a·b的值是( )A．－3 B．0 C．3 D．－3或3[答案] C[解析] ∵a与b同向共线，∴a·b＝|a|·|b|cos0＝3，选C.3．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )A．外心B．垂心C．内心D．重心[答案] D[解析] 设＋＝，则可知四边形BACD是平行四边形，而＝λ表明A、P、D三点共线．又D在边BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心．4．(2012·洛阳部分重点中学检测)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为( )12\nA．3 B. C．2 D.[分析] 由M、N、G三点共线知，存在实数λ、μ使＝λ＋μ，结合条件＝x，＝y，可将用，表示，又G为△ABC的重心，用，表示的表示式唯一，可求得x，y的关系式．[答案] B[解析] 法1：由点G是△ABC的重心，知＋＋＝0，得－＋(－)＋(－)＝0，则＝(＋)．又M、N、G三点共线(A不在直线MN上)，于是存在λ，μ∈R，使得＝λ＋μ(且λ＋μ＝1)，则＝λx＋μy＝(＋)，所以于是得＋＝3，所以＝＝.法2：特殊化法，利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.5．(2012·豫南四校调研考试)已知△ABD是等边三角形，且＋＝，||＝，那么四边形ABCD的面积为( )A.B.C．3D.[答案] B12\n[解析] 如图，由条件知，＝－＝－，∴2＝(－)2，∴3＝2＋2－·，∵||＝||，∴||2－||·||cos60°＝3，解之得||＝2.又＝－＝，∴||＝||＝1，∴||2＋||2＝||2，∴BC⊥CD.∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×22×sin60°＋×1×＝，故选B.6．非零向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1)，若a与b共线，则tan＝________.[答案] [解析] ∵非零向量a、b共线，∴存在实数λ，使a＝λb，即(sinθ，2)＝λ(cosθ，1)，∴λ＝2，sinθ＝2cosθ，∴tanθ＝2，∴tan(θ－)＝＝.12
