活页作业 平面向量应用举例一、选择题1．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )A．2 B．2 C．2 D．6解析：由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)．F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1||F2|cos60°＝28.∴|F3|＝2.答案：A2．(理)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|，其中O为原点，则实数a的值为( )A．2 B．－2 C．2或－2 D．或－解析：∵|＋|＝|－|∴(＋)2＝(－)2整理得·＝0，∴⊥，∴||＝2，又A(0，a)，B(a,0)，∴2a2＝||2＝8，∴a2＝4.∴a＝±2.答案：C2．(文)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足|＋|＝|－|，则C点的轨迹方程是( )A．x＋2y－5＝0 B．2x－y＝0C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．3x－2y－11＝0解析：由|＋|＝|－|知⊥，所以C点的轨迹是以A、B为直径的两个端点的圆，圆心坐标为线段AB的中点(1,2)，半径等于，所以C点的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5.6\n答案：C3．(2022·宁波模拟)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m等于( )A．2 B．3 C．4 D．5解析：由题意知M为△ABC的重心，延长AM交BC于D，则D为BC的中点．∴＋＝2，∴2＝m＝m·，∴m＝3.答案：B5．(理)在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．正三角形解析：因a，b，c均为非零向量，且a·b＝b·c，得b·(a－c)＝0⇒b⊥(a－c)，又a＋b＋c＝0⇒b＝－(a＋c)，∴[－(a＋c)]·(a－c)＝0⇒a2＝c2，得|a|＝|c|，同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|，故△ABC为正三角形．6\n答案：D5．(文)在△ABC中，若＝·＋·＋·，则△ABC是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形解析：·＋·＋·＝·(＋)＋·＝·，∴－·＝·(＋)＝·＝0，∴∠B＝，∴△ABC为直角三角形．答案：B6．(2022·安庆模拟)设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则·的值为( )A．6 B．8C．10 D．4解析：·＝(＋)·(＋)＝·＝·－||2＋·(－)＝||2＝(62＋32)＝10.答案：C二、填空题7．已知A(3，)，O是原点，点P(x，y)的坐标满足则的取值范围为______．6\n解析：作出可行域，与的夹角θ∈，所以＝||cosθ＝2cosθ∈(－3,3]．答案：(－3,3]8．(文)已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．解析：由已知得·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以·＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.答案：36\n三、解答题9．(金榜预测)已知＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在上是否存在点M，使⊥，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．(文)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值．6\n解：(1)由a与b－2c垂直，则a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，最大值为32，所以|b＋c|的最大值为4.6
